№4179. Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 10. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2=28.

№4178. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=6, AD=4, AA1=10. Точка F принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, F и C1.

№4177. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 7, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

№4176. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов
из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 4 спортсмена из Германии и 9 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Германии.

№4175. Окружность радиуса 8√2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.

№4174. Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:3. Найдите синус угла A.

№4173. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a2−b2+c2−d2=19.

б) Может ли быть a+b+c+d=23 и a2−b2+c2−d2=23?

в) Пусть a+b+c+d=1200 и a2−b2+c2−d2=1200. Найдите количество возможных значений числа a.

№4172. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 32, а боковые рёбра равны 4. Точка K принадлежит ребру MB, причём MK:KB=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A и K параллельно прямой BD.

№4171. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n≥3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

№4170. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 25√, а высота равна 4, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

№4169. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

№4168. Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:2. Найдите синус угла A.

№4167. Для при­го­тов­ле­ния виш­не­во­го ва­ре­нья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг са­ха­ра. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра нужно ку­пить, чтобы сва­рить ва­ре­нье из 27 кг вишни?

№4166. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 103 че­ло­ве­ка. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 6 дней?

№4165. Од­но­го ру­ло­на обоев хва­та­ет для оклей­ки по­ло­сы от пола до по­тол­ка ши­ри­ной 1,6 м. Сколь­ко ру­ло­нов обоев нужно ку­пить для оклей­ки пря­мо­уголь­ной ком­на­ты раз­ме­ра­ми 2,3 м на 4,1 м?