Задача 80981 Решите пожалуйста карточку, с рисунком...
Условие
Решение
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией диагонали B1D на плоскость ACC1 является вертикальная прямая OO1, показанная красным. Диагональ B1D1 также показана красным.
Эта прямая параллельна ребру DD1, поэтому:
sin (B1D, ACC1) = sin (B1D, DD1)
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда диагональ грани куба:
B1D1 = a*sqrt(2), а диагональ куба B1D = a*sqrt(3)
[m]\sin (B1D, ACC1) = \sin (B1DD1) = \frac{B1D1}{B1D} = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}[/m]
Задача 2. Смотрите Рис. 2.
Тоже самое - Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Проекцией прямой DE на плоскость DD1C является прямая DE1.
Эта прямая DE1, а также прямая EE1, показаны красным.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда D1E1 = a/2, EE1 = a
[m]DE1 = \sqrt{DD1^2 + D1E1^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Угол DE1E - очевидно, прямо, поэтому по Теореме Пифагора:
[m]DE = \sqrt{DE1^2 + EE1^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}[/m]
[m]\sin (DE, DD1C) = \sin (EDE1) = \frac{EE1}{DE} = \frac{a}{3a/2} = \frac{2}{3}[/m]
Задача 3. Смотрите Рис. 3.
Пусть F - середина AD, K - середина AB.
Строим плоскость EFK, параллельную BDD1.
Точка M - середина отрезка KF. EM - проекция AE на плоскость EFK.
Длину ребра куба DD1 обозначим а, тогда AF = a/2, EF = a
BD = a*sqrt(2), KF = a*sqrt(2)/2, FM = KF/2 = a*sqrt(2)/4
[m]EM = \sqrt{EF^2 + FM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{16}} = \sqrt{\frac{18a^2}{16}} = \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4}[/m]
[m]AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
[m]\cos (AE, BDD1) = \cos (AEM) = \frac{EM}{AE} = [/m]
[m]= \frac{3a \cdot \sqrt{2}}{4} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}= \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{10}[/m]
[m]\sin (AE, BDD1) = \sin (AEM) = \sqrt{1 - \cos^2 (AEM)} =[/m]
[m]= \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 10}{100}} = \sqrt{1 - \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}[/m]
