Задача 80969 Решите 13.24 и 13.28 умоляю, с рисунком...
Условие
Решение
Плоскость BMD я дополнил точкой N, нарисовал красным.
Сторону квадрата примем равной а. AB = BC = a, BM = a
Прямые AM и DM нарисовал зеленым.
1) Угол между прямой AB и плоскостью BMD - это угол между стороной квадрата AB и его диагональю BD. Я его обозначил дугой 1. Его найти совсем просто.
ABD = 45°.
2) Угол между прямой AM и плоскостью BMD - это угол между AM и диагональю DM.
Сначала нужно найти стороны треугольника AMD.
AD = a
BD = a*sqrt(2) - диагональ квадрата ABCD.
AM = a*sqrt(2) - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABM.
DM^2 = BD^2 + BM^2 - из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника BMD.
DM^2 = a^2*2 + a^2 = a^2*3
DM = a*sqrt(3)
Зная три стороны, можно найти угол AMD из теоремы косинусов.
AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2*AM*DM*cos AMD
a^2 = a^2*2 + a^2*3 - 2*a*sqrt(2)*a*sqrt(3)*cos AMD
Делим всё на a^2:
1 = 2 + 3 - 2sqrt(6)*cos AMD
2sqrt(6)*cos AMD = 4
cos AMD = 2/sqrt(6) = 2sqrt(6)/6 = sqrt(6)/3 ≈ 0,8165
AMD = arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
Величину угла в градусах можно найти на калькуляторе или по таблицам Брадиса.
Ответ: 1) 45°, 2) arccos (sqrt(6)/3) ≈ 35,26°
13.28. Смотрите рисунок.
Проекция стороны AB на плоскость α - это отрезок AH.
BAC = 60° по условию
BAH = 45° - это угол между AB и плоскостью α.
Нам нужно найти угол между стороной AC и проекцией стороны AB на плоскость α.
То есть нужно найти угол CAH.
Рассмотрим треугольник ABH - он прямоугольный с углом 45°, то есть равнобедренный.
AH = BH = a, обозначим эти стороны как a. Тогда AB = a*sqrt(2)
Можно применить одну хитрость.
Заметим, что угол CAH не зависит от длины стороны AC. Возьмем
AC = AB = a*sqrt(2).
Получили равнобедренный треугольник ABC с углом 60°, то есть равносторонний.
BC = AB = AC = a*sqrt(2)
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.
Сторону HC я нарисовал зеленым.
У него катет BH = a, гипотенуза BC = a*sqrt(2). Значит, катет HC = a.
Получили треугольник ACH, у которого AC = a*sqrt(2), HC = a, AH = a
Это опять прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом AHC.
Угол CAH = 45°
Ответ: 45°