Задача 80950 Исследуйте заданную функцию и постройте...
Условие
Решение
Общая схема исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
[b]D(Y) = R[/b]. Точек разрыва нет.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
[b]Вертикальных асимптот нет.[/b]
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Точки пересечения с осью Ox: [b]x1 = 1, x2 = 4[/b]
Точка пересечения с осью Oy: y(0) = (0 - 4)(0 - 1)^2 = -4*(-1^2) = -4
[b]y = -4[/b]
Интервалы знакопостоянства:
При x < 1 будет y < 0
При x ∈ (1; 4) будет y < 0
При x > 4 будет y > 0
4. Определить, является ли функция чётной или нечётной.
y(-x) = (-x - 4)(-x - 1)^2 = -(x + 4)(x + 1)^2
y(-x) ≠ y(x); y(-x) ≠ -y(x)
[b]Не чётная и не нечётная. Функция общего вида.[/b]
5. Определить, является ли функция периодической.
[b]Не периодическая.[/b]
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
y' = ((x - 4)(x - 1)^2)' = (x - 4)'*(x - 1)^2 + (x - 4)*((x - 1)^2)' =
= 1*(x - 1)^2 + (x - 4)*2(x - 1) = x^2 - 2x + 1 + 2(x^2 - 5x + 4) =
= 3x^2 - 12x + 9 = 0
3(x^2 - 4x + 3) = 0
3(x - 1)(x - 3) = 0
[b]x1 = 1; x2 = 3[/b]
Интервалы возрастания-убывания:
При x < 1 будет y' > 0 - функция возрастает.
При x ∈ (1; 3) будет y' < 0 - функция убывает.
При x > 0 будет y' > 0 - функция возрастает.
x = 1 - точка максимума, x = 3 - точка минимума.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
y'' = (3x^2 - 12x + 9 )' = 6x - 12 6(x - 2) = 0
[b]x = 2[/b]
Интервалы выпуклости-вогнутости:
При x < 2 будет y'' < 0 - функция выпуклая вверх (выпуклая).
При x > 2 будет y'' > 0 - функция выпуклая вниз (вогнутая).
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
f(x) = kx + b, где:
[m]k= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim \limits_{x \to ± \infty} \frac{(x - 4)(x - 1)^2}{x} = \lim \limits_{x \to ± \infty} \frac{x^3 - 4x^2 - 2x^2 + 8x + x - 4}{x} = ± \infty[/m]
[b]Наклонных асимптот нет.[/b]
На бесконечности функция уходит в бесконечность с таким же знаком.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
y(3) = (3 - 4)(3 - 1)^2 = -1*2^2 = -4
y(2) = (2 - 4)(2 - 1)^2 = -2*1^2 = -2
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График смотрите на рисунке.
Точки экстремумов A(1; 0), B(3; -4) и точка перегиба P(2; -2) отмечены на графике.