Задача 80931 Помогите решить пожалуйста...
Условие
Решение
Дано: AC = BC, MK = MN, MK ⊥ AB, MN ⊥ BC, ∠ ABM = 35 °
Найти: ∠ ACB = a
Решение.
Δ MKB = Δ MNB по двум сторонам и одному прямому углу.
Значит, ∠ CBM = ∠ ABM = 35 ° , тогда ∠ ABC = 70 ° = ∠ BAC
∠ ACB = a = 180 ° - ∠ ABC - ∠ BAC = 180 ° - 70 ° - 70 ° = 40 °
Ответ: 40 °
2) Смотрите Рис. 2.
Дано: PH ⊥ NK, KH = HN, NP = 12 см, MP = 9 см
Найти: MK = x
Решение.
Отрезок PH - серединный перпендикуляр к отрезку NK.
То есть PH - медиана и высота треугольника NPK.
Это значит, что NPK - равнобедренный треугольник,
NP = PK = 12 см
MK = x = MP + PK = 9 + 12 = 21 см
Ответ: 21 см
3) Смотрите Рис. 3.
Дано: AM ⊥ DE, AB = BM, AN ⊥ DC, AF = FN, ∠ MDE = 26 °, ∠ NDC = 46 °
Найти: ∠ CDE = a
Решение.
Проведём дополнительный отрезок DA, он показан красным.
DB - серединный перпендикуляр к отрезку AM.
DF - серединный перпендикуляр к отрезку AN.
Поэтому Δ ADM и Δ ADN - равнобедренные, так же как в задаче 2).
∠ ADE = ∠ MDE = 26 °, ∠ ADC = ∠ NDC = 46 °
∠ CDE = a = ∠ ADE + ∠ ADC = 26 ° + 46 ° = 72 °
Ответ: 72 °
4) Рисунок уже есть в задаче, я не буду его перерисовывать.
Дано: ∠ B = 56 °, ∠ C = 74 °
Найти: ∠ MNB
Решение.
Рассмотрим треугольник BMC.
∠ BMC = 180 ° - ∠ B - ∠ C = 180 ° - 56 ° - 74 ° = 50 °
MK и ML - две касательных к окружности из одной точки M. Они равны.
MK = ML
∠ BMN = ∠ CMN = ∠ BMC/2 = 50 °/2 = 25 °
Рассмотрим треугольник MNB.
∠ MNB = 180 ° - ∠ B - ∠ BMN = 180 ° - 56 ° - 25 ° = 99 °
Ответ: 99 °
5) Смотрите Рис. 4.
Дано: Окружность с центром O. Точка K ∈ Окр., точка M вне Окр.
∠ KMO + ∠ MOK = 90 °
Доказать: KM - касательная к Окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник KMO.
∠ OKM = 180 ° - ∠ KMO - ∠ MOK = 180 ° - (∠ KMO + ∠ MOK) = 180 ° - 90 ° = 90 °
То есть KM ⊥ OK.
Если секущая перпендикулярна радиусу и точка пересечения находится точно на окружности, то это не секущая, а касательная.
Таким образом, доказано, что KM - касательная к окружности.
6) Смотрите Рис. 5.
Дано: AK, BK - биссектрисы треугольника ABC.
MN || AC, K ∈ MN. AN = 6 см, MC = 5 см.
Найти: MN
Но как решить, пока не знаю, надо думать.