Задача 80900 В правильную четырёхугольную пирамиду,...

69e64569ccfc557a22c6a553

4/20/2026 3:25:37 PM

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 7, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/21/2026 9:17:46 AM

★

Из Δ POD:

OD^2=7^2-3^2=40

Δ DON- прямоугольный равнобедренный ( АВСD- квадрат)

ON^2+DN^2=OD^2

ON=DN=sqrt(20)=2sqrt(5)

Δ PON

PN^2=PO^2+ON^2=3^2+(2sqrt(5))^2=29

PN=sqrt(29)

Δ MPN - равнобедренный

PN=PM=sqrt(29)

MN=2ON=4sqrt(5)

S_( Δ MPN )=(1/2)MN*PO=(1/2)4sqrt(5)*3=6sqrt(5)

S_( Δ MPN )=p*R

R=S_( Δ MPN )/p

p=(1/2)(MN+PM+PN)=(1/2)*(4sqrt(5)+sqrt(29)+sqrt(29))=2sqrt(5)+sqrt(29)


R=6sqrt(5)/(2sqrt(5)+sqrt(29))

R^2=36*5/(2sqrt(5)+sqrt(29)^2=180/(20+4sqrt(145)+29)=180/(4sqrt(145)+49)=180*(49-4sqrt(5))/49^2-16*145)=180*(49-4sqrt(145))/81

S_(сферы)=4*π* R^2=4*π*180*(49-4sqrt(145))/81=80*π*(49-4sqrt(145))/9