Задача 80893 ...
Условие
2) Вычислить определённые интегралы
3) Вычислить несобственный интеграл
4) Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми
5) Найти объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX ограниченной кривыми
6) Найти длину дуги
Решение
────────────────────────────────────────
0. Двойной интеграл
D : y = x² , y² = x
1) Найти I = ∬_D x y dx dy.
1.1 Точки пересечения:
y = x² , y² = x ⇒ y = x² , x = y² ⇒ x⁴ = x ⇒ x = 0,1 ⇒ (0,0) и (1,1).
1.2 Удобно интегрировать по y (0≤y≤1):
при данном y x меняется от x = y² (левая кривая) до x = √y (правая кривая).
I = ∫₀¹ ∫_{x = y²}^{√y} x y dx dy
= ∫₀¹ y [x²/2]_{y²}^{√y} dy
= ∫₀¹ ½ y (y − y⁴) dy
= ½ ∫₀¹ (y² − y⁵) dy
= ½ ( 1/3 − 1/6 )
= 1/12.
Ответ: ∬_D x y dx dy = 1/12.
────────────────────────────────────────
Задание 1. Определённые интегралы
(1) ∫₀^{3/2} x² / √(9−x²) dx
x = 3 sinθ, dx = 3 cosθ dθ, θ: 0→π/6
I₁ = 9 ∫₀^{π/6} sin²θ dθ
= 9·½[θ − sin2θ/2]₀^{π/6}
= 9/2 (π/6 − √3/4)
= 3π/4 − 9√3/8.
(2) ∫₀^{π/2} x² cos2x dx
По частям (u=x², dv=cos2x dx):
I₂ = −∫₀^{π/2} x sin2x dx
Ещё раз по частям ⇒ I₂ = −π/4.
(3) ∫₀^{1} dx / √(x²−6x+13)
x²−6x+13 = (x−3)²+4, u = x−3 (u: −3→−2)
I₃ = ∫_{−3}^{−2} du / √(u²+4)
= ln|u+√(u²+4)|_{−3}^{−2}
= ln[ 2(√2−1)/(√13−3) ].
────────────────────────────────────────
Задание 2. Несобственный интеграл
∫₀^{2} dx / (x²−4x+3)
x²−4x+3 = (x−1)(x−3).
1/[(x−1)(x−3)] = −½/(x−1)+½/(x−3).
F(x)=½ ln|(x−3)/(x−1)|.
В точке x=1 (лежит внутри [0,2]) F(x) → +∞, поэтому
∫₀^{2} … dx расходится (не существует конечного значения).
────────────────────────────────────────
Задание 3. Площадь фигуры
y = x²√(8−x²), 0 ≤ x ≤ √2, y=0.
S = ∫₀^{√2} x²√(8−x²) dx.
Берём x = 2√2 sinθ (θ: 0→π/6):
S = 64 ∫₀^{π/6} sin²θ cos²θ dθ
= 16 ∫₀^{π/6} sin²2θ dθ
= 8[θ − sin4θ/4]₀^{π/6}
= 8(π/6 − √3/8)
= 4π/3 − √3.
────────────────────────────────────────
Задание 4. Объём тела вращения вокруг OX
y = −x² + 5x + 6, y = 0.
Корни: −x²+5x+6=0 ⇒ x = −1, 6.
V = π ∫_{−1}^{6} (−x²+5x+6)² dx
= π ∫_{−1}^{6} (x⁴ −10x³ +13x² +60x +36) dx
= π [x⁵/5 − (5/2)x⁴ + (13/3)x³ +30x² +36x]_{−1}^{6}
= π · 16807/30.
Ответ: V = 16807π / 30.
────────────────────────────────────────
Задание 5. Длина дуги
x = 4(t−sin t), y = 4(1−cos t), π/2 ≤ t ≤ 2π/3.
dx/dt = 4(1−cos t), dy/dt = 4 sin t
√[(dx/dt)²+(dy/dt)²] = 8 sin(t/2).
L = ∫_{π/2}^{2π/3} 8 sin(t/2) dt
= 16[−cos u]_{π/4}^{π/3} (u = t/2)
= 16(−½ + √2/2)
= 8(√2 − 1).
────────────────────────────────────────
Сводные ответы
1. Двойной интеграл: 1/12
2. Определённые интегралы:
1) 3π/4 − 9√3/8
2) −π/4
3) ln[2(√2−1)/(√13−3)]
3. Несобственный: расходится
4. Площадь: 4π/3 − √3
5. Объём: 16807π / 30
6. Длина дуги: 8(√2 − 1)