Задача 80838 1. Даны точки А(-4; 1; 2) и В(2; 3; -1)....
Условие
2. Даны векторы: а(3; 1; -2), b(-1; 2; 1), c(2; -3; 4), d(1; 2; 3). Найдите координаты вектора п = 2a + b - 3c + d. [3]
3. Даны три некомпланарных вектора а (2; 1; -1), b(1; 3; 2), с(-1; 2; 1). Разложите вектор d(4; 7; 3) по этим векторам. [4]
4. Даны точки A(1; -2; 3) и В(7; 4; 6). Найдите координаты точки М, принадлежащей отрезку АВ и делящей его в отношении АM:MB = 3:2. [3]
Решение
Координаты вектора AB:
AB = {2 - (-4); 3 - 1; -1 - 2} = {6; 2; -3}
Длина вектора AB:
|AB| = sqrt(6^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(36 + 4 + 9) = sqrt(49) = 7
2) Векторы a(3; 1; -2); b(-1; 2; 1); c(2; -3; 4); d(1; 2; 3)
Вектор n:
n = 2a + b - 3c + d = (2*3+(-1)-3*2+1; 2*1+2-3(-3)+2; 2(-2)+1-3*4+3)
n = (6-1-6+1; 2+2+9+2; -4+1-12+3) = (0; 15; -12)
3) Векторы a(2; 1; -1); b(1; 3; 2); c(-1; 2; 1).
Разложить вектор d(4; 7; 3) по этим векторам.
Чтобы разложить вектор d по этим векторам, нужно решить систему:
{ 2a + 1b + (-1)c = 4
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ (-1)a + 2b + 1c = 3
Переставим 1 уравнение на 3 место:
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ -1a + 2b + 1c = 3
{ 2a + 1b - 1c = 4
Складываем 1 и 2 уравнения.
1 уравнение умножаем на -2 и складываем со 2 уравнением.
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ 0a + 5b + 3c = 10
{ 0a - 2b - 5c = -10
Умножаем 2 уравнение на 2, а 3 уравнение на 5 и складываем их.
{ 1a + 3b + 2c = 7
{ 0a + 5b + 3c = 10
{ 0a + 0b - 19c = -30
c= 30/19; подставляем во 2 уравнение:
5b + 90/19 = 10 = 190/19
5b = 100/19
b = 20/19
Подставляем в 1 уравнение:
a + 60/19 + 60/19 = 7
a = 7 - 120/19
a = 133/19 - 120/19
a = 13/19
Разложение вектора d по векторам a, b, c:
d = 13/19*a + 20/19*b + 30/19*c
4) Точки A(1; -2; 3); B(7; 4; 6)
Точка M делит отрезок AB в отношении 3 : 2.
Отрезок AB делится на 5 частей. Точка M отрезает 3 части от точки A.
[m]\large M = (1+\frac{7-1}{5} \cdot 3;\ \ -2+\frac{4-(-2)}{5} \cdot 3;\ \ 3+\frac{6-3}{5} \cdot 3) = [/m]
[m]\large M = (1+\frac{18}{5};\ \ -2+\frac{18}{5}\ \ 3+\frac{9}{5}) = (4,6;\ \ 1,6;\ \ 4,8)[/m]