Задача 80832 sin4x+2cos3x-sin2x...
Условие
Решение
[m]\sin 4x + 2\cos 3x – \sin 2x = (\sin 4x - \sin 2x) + 2\cos 3x[/m]
Есть формула разности синусов:
[m]\sin a - \sin b = 2 \sin \frac{a-b}{2} \cdot \cos \frac{a+b}{2}[/m]
Подставляем:
[m](\sin 4x - \sin 2x) + 2\cos 3x = 2 \sin \frac{4x-2x}{2} \cdot \cos \frac{4x+2x}{2} + 2\cos 3x =[/m]
[m]= 2 \sin x \cos 3x + 2\cos 3x = 2\cos 3x \cdot (\sin x + 1)[/m]
Можно вывести формулу косинуса тройного угла как косинуса суммы:
[m]\cos 3a = \cos(2a + a) = \cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a =[/m]
[m]= (2\cos^2 a - 1) \cos a - 2\sin a \cos a \cdot \sin a = [/m]
[m]= 2\cos^3 a - \cos a - 2\cos a \sin^2 a =[/m]
[m]= \cos a (2\cos^2 a - 2\sin^2 a - 1) = \cos a (2\cos^2 a + 2 - 2\sin^2 a - 3)[/m]
[m]= \cos a (2\cos^2 a + 2\cos^2 a - 3) =\cos a (4\cos^2 a - 3) [/m]
Окончательно получаем:
[m]\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a[/m]
Подставляем:
[m]2\cos 3x \cdot (\sin x + 1) = (4\cos^3 x - 3\cos x)(\sin x + 1)[/m]
Все решения
