Задача 80831 можете решить [m]\log_{1/3} (2x - 4) >...
Условие
Решение
[m]\log_{1/3} (2x - 4) > \log_{1/3} (14 - x)[/m]
Область определения функции логарифма:
Выражение под логарифмом должно быть строго положительным.
[m]\begin{cases}
2x - 4 > 0 \\
14 - x > 0 \\
\end{cases}[/m]
Получаем:
[m]\begin{cases}
x > 2 \\
x < 14 \\
\end{cases}[/m]
[b]x ∈ (2; 14)[/b]
Так как основание логарифма 1/3 ∈ (0; 1), то функция убывающая.
То есть, чем больше число под логарифмом, тем меньше логарифм.
Поэтому при переходе от логарифмов к числам знак меняется.
2x - 4 < 14 - x
2x + x < 14 + 4
3x < 18
[b]x < 6[/b]
С учетом области определения
Ответ: [b]x ∈ (2; 6)[/b]
Все решения
log_{1/3}(2x − 4) > log_{1/3}(14 − x).
1. Область определения
Для существования логарифмов их аргументы должны быть положительны:
• 2x − 4 > 0 ⇒ x > 2;
• 14 − x > 0 ⇒ x < 14.
Значит x ∈ (2; 14).
2. Сравнение аргументов
База логарифма a = 1/3 удовлетворяет 0 < a < 1.
Для такого основания знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:
log_a f > log_a g ⇔ f < g (при f, g > 0).
Следовательно:
2x − 4 < 14 − x.
3. Решаем линейное неравенство
2x − 4 < 14 − x
2x + x < 14 + 4
3x < 18
x < 6.
4. Пересечение с областью определения
x ∈ (2; 14) и одновременно x < 6 ⇒ x ∈ (2; 6).
Ответ: (2; 6).