Задача 80824 Побудувати переріз на самому малюнку та...
Условие
Решение
2. F ∈ (DCC1); P ∈ (DCC1) ⇒ FP
3. (ADD1) || (BCC1)
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
⇒ PN || FK
4. PN ∩ BB1 = N
5. N ∈ (ABB1), K ∈ (ABB1) ⇒ NK
Построили сечение KNPF
Все решения
1. З’єднуємо K і F
Обидві точки лежать на лівій грані ADD₁A₁, тому пряма KF – це частина шуканого перерізу (площина перетинає цю грань саме по відрізку KF).
2. Знаходимо, як переріз піде по грані, протилежній до ADD₁A₁
Протилежна грань – BСC₁B₁. Площини протилежних граней паралелепіпеда паралельні, тому в грані BСC₁B₁ переріз ітиме по прямій, паралельній KF.
• Через точку P (вона належить ребру CC₁ цієї грані) проводимо пряму, паралельну KF.
• Ця пряма перетинає ребро BС у точці N та ребро B₁C₁ у точці M.
• Відмічаємо N і M та з’єднуємо їх з P (отримуємо PN і PM – дві наступні ланки перерізу).
3. З’єднуємо F і P
Точки F і P лежать на задній грані DD₁C₁C, отже відрізок FP також належить шуканому перерізу.
4. Проводимо лінію, паралельну FP, у протилежній до DD₁C₁C грані
Протилежна грань – AВB₁A₁. Через точку K (вона належить ребру AA₁ цієї грані) проводимо пряму, паралельну FP.
• Вона перетинає ребро AB у точці S та ребро A₁B₁ у точці T.
• Відрізки KS і KT доповнюють наш переріз.
5. Записуємо послідовність вершин перерізу
Обходячи фігуру проти годинникової стрілки, дістаємо шестикутник
S – K – F – P – M – N – S.
Отже, переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через задані точки K, P і F, є шестикутником SKFPMN (у деяких спеціальних положеннях точок може вийти п’ятикутник або навіть трикутник, але наведений алгоритм коректний для будь-якого взаємного розміщення K, P, F).
Як виглядає креслення
• На лівій грані з’єднати K і F.
• На задній грані з’єднати F і P.
• Через P провести лінію, паралельну KF, до перетину з ребрами BC та B₁C₁ (позначити N і M).
• Через K провести лінію, паралельну FP, до перетину з ребрами AB та A₁B₁ (позначити S і T).
• Послідовно з’єднати S-K-F-P-M-N, утворивши шуканий переріз.
У підсумку на рисунку з’являється заштрихований (або обведений) шестикутник SKFPMN – саме він і є шуканим перерізом.