Задача 80818 ...
Условие
1. (1 балл) По данным рисунка 1 докажите равенство треугольников BEH и BFH.
2. (1 балл) На рисунке 2 AB||DE, ∠CBA = 140°, ∠CDE = 130°. Докажите, что BC ⟂ CD.
*При необходимости прямые можно продлить. Также можно использовать приём дополнительного построения.
3. (1 балл) В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса BM, равная 30 см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB.
4. (1 балл) В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки K и L соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры KH и LP к прямой DF, причём KH = LP, ∠DKH = ∠PLF. Докажите, что DE = EF.
5. (1 балл) Найдите углы треугольника ABC, если известно, что он равнобедренный с основанием AC и при пересечении биссектрис углов B и C образовались углы, один из которых равен 78°.
6. (3 балла) Дан треугольник QRS. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, в котором ∠A = ∠Q, AB = QR, AC = 1/2 QS. Выполните чертёж, запишите основные этапы построения.
Решение
ВН - медиана, высота биссектриса ⇒ ∠ АВН = ∠ СВН
Δ ЕВН и Δ FBH - прямоугольные
ВН - общая, ∠ АВН = ∠ СВН ⇒ Δ ЕВН = Δ FBH (по гипотенузе и острому углу)
2. Проведем СЕ || AB || DE
∠ BCE = 180 ° - 140 ° = 40 ° (односторонние при BA||CE и секущей СВ)
∠ DCE = 180 ° -130 ° = 50 ° (односторонние при DE||CE и секущей СD)
⇒ ∠ C=40 ° +50 ° = 90 ° ⇒ BC ⊥ DC
3. MT ⊥ AB - расстояние от М до АВ
Δ АВС - равносторонний. ВМ - биссектриса, высота, медиана.
⇒ ∠ АВМ = ∠ СВМ = 30 °
Δ МТВ - прямоугольный ⇒ МТ = 30 : 2 = 15 (катет против ∠ 30 ° )
4. Δ DKH = Δ FLP (прямоугольняе, по катету и острому углу)
⇒ ∠ D = ∠ F (соответственные элементы)
⇒ Δ DEF - равнобедренный ⇒ DE = EF
5. Δ АВС - равнобедренный.
ВМ - биссектриса, высота
∠ КОВ = ∠ МОС = 78 ° (вертикальные)
∠ ОСМ = 90 ° -78 ° = 12 ° (сумма острых углов прямоугольного треугольника)
∠ ОСМ = ∠ ОСВ = 12 ° (СК - биссектриса) ⇒ ∠ А = ∠ С = 12 ° +12 ° = 24 °
∠ В = 180 ° - 24 ° - 24 ° = 132 ° (сумма углов треугольника)
6. Дан Δ QRS
Обозначим точку А и проведем луч АЕ
Построим ∠ А = ∠ Q
Проведем дугу произвольным радиусом QH до пересечения с QR. Из точки А проведем дугу тем же радиусом. Пересечение дуги с АЕ обозначим М.
Из точки М проведем дугу радиуса r. Пересечение дуг обозначим Р.
Соединим А и Р и на данном луче отложим АВ = QR.
На луче АЕ отложим АО = QS.
Разделим АО пополам.
Из точек А и О проведем равные дуги больше середина АО по обе стороны от отрезка АО. Пересечения дуг обозначим Т и N. Соединим эти точки. TN пересекает АО в точке С. С - середина отрезка АО.
Получили искомый ΔАВС.
