Задача 80815 y=2x-3/x^3...
Условие
Решение
План исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
x ≠ 0
[b]x ∈ (-oo; 0) U (0; +oo)[/b]
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальная асимптота [b]x = 0[/b]
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Так как x ≠ 0, пересечения с осью Oy - НЕТ.
Пересечение с осью Ox:
[m]\large y = \frac{2x-3}{x^3} = 0[/m]
2x - 3 = 0
x = 3/2 = 1,5
Точка пересечения с осью Ox:
[b]A(3/2; 0)[/b]
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]\large y(-x) = \frac{2(-x)-3}{(-x)^3} = \frac{-2x-3}{-x^3} = \frac{2x+3}{x^3}[/m]
Не четная и не нечетная. Функция общего вида.
5. Определить, является ли функция периодической или нет.
Не периодическая
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Критические точки первого порядка - это точки, в которых y' = 0
[m]\large y' = \frac{2 \cdot x^3 - (2x - 3) \cdot 3x^2}{x^6} = 0[/m]
Сокращаем на x^2 и приводим подобные:
[m]\large \frac{2x - 3(2x - 3)}{x^4} = \frac{2x - 6x + 9}{x^4} = \frac{- 4x + 9}{x^4} = 0[/m]
-4x + 9 = 0
x = 9/4 = 2,25
И при x = 0 функция y' не существует, как и сама функция y.
При x < 0 будет y' > 0, функция возрастает.
При x ∈ (0; 9/4) будет y' > 0, функция возрастает.
При x > 9/4 будет y' < 0, функция убывает.
Значит, [b]x = 9/4[/b] - точка локального максимума.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Критические точки второго порядка - это точки, в которых y'' = 0
[m]\large y'' = \frac{-4 \cdot x^4 - (-4x + 9) \cdot 4x^3}{x^8} = 0[/m]
Сокращаем на x^3 и приводим подобные:
[m]\large \frac{-4x - 4(-4x + 9)}{x^5} = \frac{-4x + 16x - 36}{x^5} = \frac{12x - 36}{x^5} = 0[/m]
12x - 36 = 0
x = 3
И при x = 0 функция y'' не существует, как и сама функция y.
При x < 0 будет y'' > 0, график вогнутый (выпуклый вниз).
При x ∈ (0; 3) будет y'' < 0, график выпуклый (выпуклый вверх).
При x > 3 будет y'' > 0, график вогнутый (выпуклый вниз).
Значит, [b]x = 3[/b] - точка перегиба.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты имеют вид:
f(x) = k*x + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2x-3}{x^4} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2/x^3\ -\ 3/x^4}{1} = \frac{0 - 0}{1} = 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} \Big (\frac{2x-3}{x^3} - 0 \Big ) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2/x^2\ -\ 3/x^3}{1} = \frac{0 - 0}{1} = 0[/m]
Горизонтальная асимптота [b]f(x) = 0[/b], то есть ось Ox.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
Локальный максимум:
[m]y(\frac{9}{4}) = \frac{2(9/4)-3}{(9/4)^3} = (\frac{9}{2} - 3) : \frac{9^3}{4^3}= \frac{3}{2} : \frac{3^6}{2^6} = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}[/m]
Точка B(9/4; 32/243)
Точка перегиба:
[m]y(3) = \frac{2 \cdot 3-3}{3^3} = \frac{3}{3^3} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}[/m]
Точка C(3; 1/9)
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на рисунке. Точки пересечения с осями, максимума и перегиба - отмечены.
