Задача 80809 ...

69414df2fc938919023f4357

3/4/2026 12:59:04 PM

помогите решить задачи по геометрии

Угол между прямыми

9.1. Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку: 1) принадлежащую данной прямой; 2) не принадлежащую данной прямой?

9.2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) CD и BC; 2) AA₁ и C₁D₁;
3) AA₁ и D₁C₁; 4) AC и B₁D₁; 5) A₁C₁ и AC.

9.11. Точки E, F, M и K — середины соответственно рёбер AB, BC, AD и BD тетраэдра DABC (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми EF и MK, если ∠BAC = α.

692ecb44a0211e4a1fadc32d

3/5/2026 12:47:29 PM

★

1. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести единственную плоскость. Если точка принадлежит прямой, то таких плоскостей можно провести бесконечное множество. ⇒ 1) Бесконечное количество; 2) Одну.

2. [b]1) CD и ВС[/b]
CD ⊂ (ABC); BC ⊂ (ABC); CD ⊥ BC → ∠ (CD; BC) = 90 °
[b]2) AA1 и C1D1[/b]
AA1 ⊂ (ADD1); C1D1 ∩ (ADD1) = D1; D1 ∉ AA1 ⇒ AA1 и С1D1 - скрещивающиеся прямые.
D1C1 || A1B1 ⇒ ∠ (AA1; C1D1)= ∠ (AA1;A1B1) = ∠ AA1B1 = 90 °
[b]3) AA1 и D1C[/b]
AA1 ⊂ (ADD1); D1C ∩ (ADD1) = D1; D1 ∉ AA1 ⇒ AA1 и D1C - скрещивающиеся прямые.
BA1 || CD1 ⇒ ∠ (AA1; D1C)= ∠ (AA1;BA1) = ∠ AA1B1 = 45 °
[b]4) АС и B1D1[/b]
AC ⊂ (ACC1); B1D1 ∩ (ACC1) = O1; O1 ∉ AC ⇒ AC и B1D1 - скрещивающиеся прямые.
B1D1 || BD ⇒ ∠ (AC; B1D1)= ∠ (AC;BD) = 90 ° (диагонали квадрата)
[b]5) А1С1 и АС[/b]
А1С1 ⊂ (АСС1); АС ⊂ АСС1; (АВС) || (A1B1C1)
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.
⇒ A1C1 || AC ⇒ ∠ (A1C1; AC) = 0

3. MK ⊂ (ADB) ; EF ∩ (ADB)=E; E ∉ (MK) ⇒ MK и EF - скрещивающиеся прямые.
МК - средняя линия Δ ADB (по определению) ⇒ МК || AB
∠ (MK; EF) = ∠ (AB; EF) = ∠ BEF
EF - средняя линия Δ АВС ⇒ EF || AC
∠ BAC = ∠ BEF = α (соответственные при EF || AC и секущей АВ0