Задача 80806 кубическое уранение решить....
Условие
Решение
x^3-(3/4)x-sqrt(2)/8=0
p=-3/4
q=-sqrt(2)/8
ИЛИ
8x^3-6x-sqrt(2)=0
перепишем
8x^3=6x+sqrt(2)
Решаем графически:
Строим графики функций
y=8x^3
y=6x+sqrt(2)
Три точки пересечения.
см. рис. 1
Или строим график
y=8x^3-6x-sqrt(2)
и находим точки пересечения с осью Ох
( три точки)
См. рис. 2
Все решения
[m]x^3 - \frac{6}{8} \cdot x - \frac{\sqrt{2}}{8} = 0[/m]
Дело даже не в том, что формула Кардано слишком сложна.
Хотя да, для школьника она сложновата.
К сожалению, если имеется три действительных корня, то формула Кардано мало подходит.
Потому что получается отрицательное число под квадратным корнем.
[m]p = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4};\ \ q= -\frac{\sqrt{2}}{8}[/m]
[m]\frac{q^2}{4}=\frac{(-\sqrt{2}/8)^2}{4}=\frac{2/64}{4}= \frac{1}{32 \cdot 4}= \frac{1}{128}[/m]
[m]\frac{p^3}{27}=\frac{(−3/4)^3}{27}=−\frac{3^3}{4^3 \cdot 27}=−\frac{1}{4^3}=−\frac{1}{64}[/m]
[m]\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = \frac{1}{128}−\frac{1}{64}=−\frac{1}{128}=−\frac{2}{256} < 0[/m]
[m]\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}= \sqrt{−\frac{2}{256}}= \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot i[/m]
То есть, чтобы получить три действительных корня, нужно во время решения использовать комплексные числа.
[m]x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} – \sqrt{Q}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{Q}} = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16} – \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot i} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot i}[/m]
Каждый из кубических корней в комплексной плоскости принимает 3 разных значения.
И их нужно сочетать тремя разными способами, так, чтобы в сумме получилось 3 действительных числа.
А решить это уравнение можно, если не по формуле Кардано и не графически, то только подбором корней.
f(x) = 8x^3 - 6x - sqrt(2) = 0
f(-0,7) = 8*(-0,7)^3 - 6*(-0,7) - sqrt(2) ≈ 0,0417 > 0
f(-0,71) = 8*(-0,71)^3 - 6*(-0,71) - sqrt(2) ≈ -0,0175 < 0
[b]x1 ∈ (-0,71; -0,7)[/b]
Можно уточнить:
f(-0,708) = 8*(-0,708)^3 - 6*(-0,708) - sqrt(2) ≈ -0,00537 ≈ 0
[b]x1 ≈ -0,708[/b]
f(-0,26) = 8*(-0,26)^3 - 6*(-0,26) - sqrt(2) ≈ -0,00518 < 0
f(-0,27) = 8*(-0,27)^3 - 6*(-0,27) - sqrt(2) ≈ 0,0483 > 0
[b]x2 ∈ (-0,27; -0,26)[/b]
Можно даже сказать, что [b]x2 ≈ -0,26[/b]. Потому что -0,00518 ≈ 0.
f(1) = 8*1^3 - 6*1 - sqrt(2) ≈ 0,585 > 0
f(0,9) = 8*(0,9)^3 - 6*(0,9) - sqrt(2) ≈ -0,982 < 0
Уточняем:
f(0,97) = 8*(0,97)^3 - 6*(0,97) - sqrt(2) ≈ 0,06717 > 0
f(0,96) = 8*(0,96)^3 - 6*(0,96) - sqrt(2) ≈ -0,0963 < 0
[b]x2 ∈ (0,96; 0,97)[/b]
f(0,966) = 8*(0,966)^3 - 6*(0,966) - sqrt(2) ≈ 0,001216 ≈ 0
[b]x3 ≈ 0,966[/b]