Задача 80802 Найти опорное решение системы линейных...
Условие
методом искусственного базиса. 
Решение
выполним по «методу искусственного базиса» (двухфазному
симплекс-методу).
1. Приводим систему к каноническому виду, добавив по одной
искусственной переменной в каждое уравнение:
3x₁ – 4x₂ – 4x₃ + 2x₄ + y₁ = –3,
2x₁ + x₂ + 3x₃ – x₄ + y₂ = 5.
Переменные y₁ , y₂ ≥ 0 образуют первоначальный базис.
2. Начальное базисное решение
x = 0, y₁ = –3, y₂ = 5
невыполнимо для I-й фазы (y₁ < 0).
Поэтому делаем ряд поворотов (переходов), постепенно выводя
искусственные переменные из базиса.
3. Первый поворот
берём x₁ вместо y₁ (ведущим элементом делаем коэффициент 3):
x₁ – 4/3 x₂ – 4/3 x₃ + 2/3 x₄ + 1/3 y₁ = –1.
4. Устраняем x₁ из второго уравнения:
(11/3) x₂ + (17/3) x₃ – (7/3) x₄ – 2/3 y₁ + y₂ = 7.
5. Второй поворот
делаем базисной переменной x₂ (делим строку на 11/3):
x₂ + 17/11 x₃ – 7/11 x₄ – 2/11 y₁ + 3/11 y₂ = 21/11.
6. Устраняем x₂ из первой строки:
x₁ + 8/11 x₃ – 2/11 x₄ + 1/11 y₁ + 4/11 y₂ = 17/11.
7. Полученный базис: x₁ , x₂ .
Искусственные переменные y₁ , y₂ в обеих строках имеют нулевые
коэффициенты, поэтому их можно вывести из решения,
положив y₁ = y₂ = 0, а также положив небазисные переменные
x₃ = x₄ = 0.
8. Опорное (базисное) решение исходной системы:
x₁ = 17/11,
x₂ = 21/11,
x₃ = 0,
x₄ = 0.
Подставляя, убеждаемся:
3·17/11 – 4·21/11 – 4·0 + 2·0 = –3,
2·17/11 + 1·21/11 + 3·0 – 0 = 5.
Следовательно, методом искусственного базиса найдено опорное
(базисное) решение
(x₁ , x₂ , x₃ , x₄) = (17/11 , 21/11 , 0 , 0).