Задача 80798 Исследование поведения функции с помощью...
Условие
Решение
6 номеров - это очень много. Вам никто столько делать не будет.
Разбейте вопрос на 6 вопросов и задайте каждый отдельно.
Я сделаю номер под звездочкой, повышенной трудности, значит, интересный.
61. [m]\large y = \frac{x^4}{x^2 - 4}[/m]
[b]План исследования функции:[/b]
1) Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Знаменатель не должен равняться 0.
x^2 - 4 ≠ 0
(x - 2)(x + 2) ≠ 0
x ∈ (-oo; -2) U (-2; 2) U (2; +oo)
2) Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальные асимптоты x = -2 и x = 2
3) Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
y(0) = 0 - пересечение в начале координат.
4) Определить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]\large y(-x) = \frac{(-x)^4}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^4}{x^2 - 4} = y(x)[/m]
Чётная.
5) Определить, является ли функция периодической.
Не периодическая.
6) Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0
[m]\large y' = (\frac{x^4}{x^2 - 4})' = \frac{4x^3(x^2-4) - x^4 \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = 0[/m]
[m]\large \frac{4x^5-16x^3 - 2x^5}{(x^2-4)^2} = 0[/m]
[m]\large \frac{2x^5-16x^3}{(x^2-4)^2} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
2x^5 - 16x^3 = 0
2x^3(x^2 - 8) = 0
2x^3(x + sqrt(8))(x - sqrt(8)) = 0
x1 = 0; x2 = -sqrt(8); x3 = sqrt(8)
Это критические точки, но не все из них могут быть экстремумами.
Нужно проверить возрастание и убывание функции в окрестностях точек.
И еще, как и у самой функции, в точках x = -2 и x = 2 y' не существует.
При x < -sqrt(8) будет y' < 0, функция убывает.
При x ∈ (-sqrt(8); -2) будет y' > 0, функция возрастает.
Значит, [b]x1 = -sqrt(8)[/b] - точка минимума.
При x ∈ (-2; 0) будет y' > 0, функция возрастает.
При x ∈ (0, 2) будет y' < 0, функция убывает.
Значит, [b]x2 = 0[/b] - точка максимума.
При x ∈ (2; sqrt(8)) будет y' < 0, функция убывает.
При x > sqrt(8) будет y' > 0, функция возрастает.
Значит, [b]x3 = sqrt(8)[/b] - точка минимума.
7) Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0
[m]\large y'' = (\frac{2x^5-16x^3}{(x^2-4)^2})' = \frac{(10x^4 - 48x^2)(x^2-4)^2 - (2x^5-16x^3) \cdot 2(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^4} = 0[/m]
[m]\large \frac{(10x^4 - 48x^2)(x^2-4) - (2x^5-16x^3) \cdot 4x}{(x^2 - 4)^3} = 0[/m]
[m]\large \frac{10x^6 - 48x^4 - 40x^4 + 192x^2 - 8x^6 + 64x^4}{(x^2 - 4)^3} = 0[/m]
[m]\large \frac{2x^6 - 24x^4 + 192x^2}{(x^2 - 4)^3} = 0[/m]
2x^6 - 24x^4 + 192x^2 = 0
2x^2*(x^4 - 12x^2 + 96) = 0
D/4 = (-6)^2 - 96 = 36 - 96 = -60 < 0
Биквадратное уравнение в скобках решения не имеет.
Возможная точка перегиба: x = 0.
И еще, как и у самой функции, в точках x = -2 и x = 2 y'' не существует.
При x < -2 будет y'' > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).
При x ∈ (-2; 0) будет y'' < 0 - график выпуклый (выпуклый вверх).
При x ∈ (0; 2) будет y'' < 0 - график выпуклый (выпуклый вверх).
Значит, в точке x = 0 перегиба нет, а есть только экстремум.
При x > 2 будет y'' > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).
8) Найти наклонные/горизонтальные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Уравнение наклонной или горизонтальной асимптоты: f(x) = kx + b
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 - 4} = \frac{1}{1/x - 4/x^3} = \frac{1}{0 - 0} = \infty[/m]
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
9) Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
[m]\large y(-\sqrt{8}) = \frac{(-\sqrt{8})^4}{(-\sqrt{8})^2 - 4} = \frac{8^2}{8 - 4} = \frac{64}{4} = 16[/m]
[m]\large y(\sqrt{8}) = \frac{(\sqrt{8})^4}{(\sqrt{8})^2 - 4} = \frac{8^2}{8 - 4} = \frac{64}{4} = 16[/m]
10) Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на рисунке. Вертикальные асимптоты x = -2, x = 2 показаны тонкими линиями.
Точки минимумов (-sqrt(8); 16) и (sqrt(8); 16) и точка максимума (0; 0) тоже показаны.