Задача 80790 (3^х -6)^2 -16|3^х -6| = 15 -2*3^х+1...
Условие
Решение
Но это неправильно, тогда бы написали сразу 16 - 2*3^(x)
Я думаю, должно быть так:
(3^(x) - 6)^2 - 16*|3^(x) - 6| = 15 - 2*3^(x+1)
Немного упростим: 2*3^(x+1) = 2*3^(x)*3 = 6*3^(x).
(3^(x) - 6)^2 - 16*|3^(x) - 6| = 15 - 6*3^x
Сделаем замену 3^(x) - 6 = t, тогда 3^x = t + 6 > 0 при любом x.
Значит, [b]t > -6[/b] при любом x. Получаем:
t^2 - 16*|t| = 15 - 6*(t+6)
t^2 - 16*|t| = - 6t - 21
Рассмотрим модуль при разных значениях t.
1) Если t = 3^(x) - 6 < 0, то есть при 3^(x) < 6, будет |t| = -t, тогда:
t^2 + 16t = - 6t - 21
t^2 + 22t + 21 = 0
D/4 = 11^2 - 1*21 = 121 - 21 = 100 = 10^2
t1 = -11 - 10 = -21 < -6 - не подходит.
t2 = -11 + 10 = -1 > -6 - подходит.
t = 3^(x) - 6 = -1
3^(x) = 5
[b]x1 = log_3 (5)[/b]
2) Если t = 3^(x) - 6 ≥ 0, то есть при 3^(x) ≥ 6, будет |t| = t, тогда:
t^2 - 16t = - 6t - 21
t^2 - 10t + 21 = 0
D/4 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4 = 2^2
t1 = 5 - 2 = 3 > 0 - подходит.
t = 3^(x) - 6 = 3
3^(x) = 9
[b]x2 = 2[/b]
t2 = 5 + 2 = 7 > 0 - подходит.
t = 3^(x) - 6 = 7
3^(x) = 13
[b]x3 = log_3 (13)[/b]
Ответ: [b]x1 = log_3 (5); x2 = 2; x3 = log_3 (13)[/b]