Задача 80785 В треугольной пирамиде МАВС основание...
Условие
Решение
Так как основание ABC - правильный треугольник, то есть равносторонний, то все медианы тоже равны, и являются высотами и биссектрисами.
Точка пересечения медиан O является центром треугольника.
Так как боковые ребра тоже все равны друг другу, то вершина M находится прямо над центром треугольника O.
А это и означает, что прямая OM перпендикулярна плоскости ABC.
То есть это и есть высота тетраэдра. Теперь нам надо её найти.
Для этого рассмотрим любую медиану, например, AK.
[m]\large AK = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]\large AO = \frac{2}{3} \cdot AK = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}[/m]
Теперь рассмотрим треугольник AOM.
Мы уже доказали, что OM перпендикулярна плоскости ABC,
Поэтому треугольник AOM - прямоугольный, причем AM - гипотенуза.
По теореме Пифагора:
AO^2 + OM^2 = AM^2
(sqrt(3))^2 + OM^2 = 2^2
3 + OM^2 = 4
OM^2 = 1
Ответ: [b]OM = 1[/b]
Все решения
АВ = 3; МА = МВ = МС = 2.
Доказать: ОМ ⊥ (АВС); Найти: ОМ
Решение:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
1. Δ АВС - равносторонний;
АН; ВЕ; CD - медианы, высоты
2. Δ СМВ - равнобедренный;
МН - медиана, высота.
3. АН ⊥ СВ, МН ⊥ СВ, АН ⊂ (АМН), МН ⊂ (АМН), АН ∩ МН = Н ⇒ СВ ⊥ (АМН)
МО ⊂ (АМН)
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ МО ⊥ СВ
4. Аналогично:
ВЕ ⊥ АС, МЕ ⊥ АС,BE ⊂ (EMB),ME ⊂ (EMB),ME ∩ EB = E ⇒ AC ⊥ (EMB) ⇒ AC ⊥ MO
5. MO ⊥ AC; MO ⊥ CB; AC ⊂ (ABC); CB ⊂ (ABC); AC ∩ CB = C ⇒ MO ⊥ (ABC)
6. [m]AH=AC\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m]
⇒ [m]AO=\frac{3\sqrt{3}\cdot2}{2\cdot3}=\sqrt{3}[/m] (свойство медиан)
7. По теореме Пифагора для ΔАМО:
[m]MO=\sqrt{4-3}=1[/m]
