Задача 80784 ...
Условие
Решение
Область определения функции логарифма:
x > 0, x ≠ 1
При этом sqrt(x) определен всегда.
Есть такое свойство логарифмов:
[m]\large \log_{a} b = \frac{log_{c} b}{\log_{c} a}[/m]
Оно позволяет перейти к логарифмам с другим основанием с.
Причем это новое основание имеет только два ограничения:
c > 0, c ≠ 1.
Можно взять c = 10 и перейти к десятичным логарифмам.
[m]\large \frac{\lg 3}{\lg x^2} + \frac{\lg 4}{\lg \sqrt{x}} = 2[/m]
[m]\large \frac{\lg 3}{2\lg x} + \frac{\lg 4}{0,5\lg x} = 2[/m]
[m]\large 0,5 \cdot \frac{\lg 3}{\lg x} + 2 \cdot \frac{\lg 4}{\lg x} = 2[/m]
Сделаем обратный переход:
[m]0,5\log_{x} 3 + 2\log_{x} 4 = 2[/m]
[m]\log_{x} 3^{0,5} + \log_{x} 4^2 = 2[/m]
[m]\log_{x} \sqrt{3} + \log_{x} 16 = 2[/m]
[m]\log_{x} (16 \cdot \sqrt{3}) = 2[/m]
По определению логарифма:
[m]x^2 = 16 \cdot \sqrt{3}[/m]
Так как по области определения x > 0, то корень только один:
[m]\large x = 4\sqrt[4]{3}[/m]