Задача 80718 Найдите все значения a, при каждом из...
Условие
Решение
y = \sqrt{-5+6x-x^2} + 3 \\
y = \sqrt{4 - a^2 - 2ax - x^2} - a \\
\end{cases}[/m]
Разложим на множители выражения под корнями:
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{-(x-1)(x-5)} + 3 \\
y = \sqrt{4 - (a + x)^2} - a \\
\end{cases}[/m]
В 1 уравнении внесем минус под одну скобку.
Во 2 уравнении разложим разность квадратов:
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{(x-1)(5-x)} + 3 \\
y = \sqrt{(2-a-x)(2+a+x)} - a \\
\end{cases}[/m]
Так как оба корня - арифметические, то есть неотрицательные,
и выражения под корнями тоже неотрицательные, то ОДЗ:
[m]\begin{cases}
(x-1)(5-x) ≥ 0 \\
y ≥ 3 \\
(2-a-x)(2+a+x) ≥ 0 \\
y ≥ -a \\
\end{cases}[/m]
Решаем:
[m]\begin{cases}
x ∈ [1;\ 5] \\
y ≥ 3 \\
(2-a-x)(2+a+x) ≥ 0 \\
y ≥ -a \\
\end{cases}[/m]
Найдем значения а на концах отрезка x ∈ [1; 5]
1) x = 1, тогда
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{-(1-1)(1-5)} + 3 = 3\\
y = \sqrt{4 - (a + 1)^2} - a \\
\end{cases}[/m]
Получаем уравнение:
[m]\sqrt{4 - (a + 1)^2} - a = 3[/m]
[m]\sqrt{4 - (a + 1)^2} = a + 3[/m]
4 - (a + 1)^2 = (a + 3)^2
4 - a^2 - 2a - 1 = a^2 + 6a + 9
0 = a^2 + 6a + 9 + a^2 + 2a - 3
2a^2 + 8a + 6 = 0
a^2 + 4a + 3 = 0
(a + 1)(a + 3) = 0
a1 = -3; a2 = -1
2) x = 5, тогда:
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{-(5-1)(5-5)} + 3 = 3\\
y = \sqrt{4 - (a + 5)^2} - a \\
\end{cases}[/m]
Получаем уравнение:
[m]\sqrt{4 - (a + 5)^2} - a = 3[/m]
[m]\sqrt{4 - (a + 5)^2} = a + 3[/m]
4 - (a + 5)^2 = (a + 3)^2
4 - a^2 - 10a - 25 = a^2 + 6a + 9
0 = a^2 + 6a + 9 + a^2 + 10a + 21
2a^2 + 16a + 30 = 0
a^2 + 8a + 15 = 0
(a + 3)(a + 5) = 0
a1 = -5; a2 = -3
Как видим, a = -3 - общее значение, подставим его в систему:
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{-5+6x-x^2} + 3 \\
y = \sqrt{4 - (-3)^2 - 2(-3)x - x^2} - (-3) \\
\end{cases}[/m]
Считаем:
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{-5+6x-x^2} + 3 \\
y = \sqrt{4 - 9 + 2 \cdot 3x - x^2} +3 \\
\end{cases}[/m]
Приводим подобные:
[m]\begin{cases}
y = \sqrt{-5+6x-x^2} + 3 \\
y = \sqrt{-5 + 6x - x^2} +3 \\
\end{cases}[/m]
Получили два одинаковых уравнения, значит, бесконечное количество решений.
А при всех остальных значениях a от -5 до -1 будет по одному корню.
Ответ: a ∈ [-5; -3) U (-3; -1]