Задача 80715 Исследовать функцию и построить ее...
Условие
Решение
[m]\large y = \frac{2x+1}{x^2}[/m]
Схема исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
x ≠ 0. x ∈ (-oo; 0) U (0; +oo)
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальная асимптота x = 0
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Пересечения с осью Oy нет.
Пересечение с осью Ox: y = 0
2x + 1 = 0
x = -1/2
4. Определить, является ли функция чётной или нечётной.
Не четная и не нечетная.
5. Определить, является ли функция периодической.
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0 или не существует.
[m]y' = \frac{2 \cdot x^2 - (2x + 1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2x - 2(2x + 1)}{x^3} = \frac{-2x - 2}{x^3} = 0[/m]
-2x - 2 = 0
-2(x + 1) = 0
x = -1 - точка, в которой y' = 0.
x = 0 - точка, в которой y' не существует.
При x < -1 будет y' < 0, функция убывает.
При x ∈ (-1; 0) будет y' > 0, функция возрастает.
Значит, x = -1 - точка минимума.
При x > 0 будет y' < 0, функция убывает.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0 или не существует.
[m]y'' = \frac{-2 \cdot x^3 - (-2x - 2) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{-2x - 3(-2x - 2)}{x^4} = \frac{4x +6}{x^4} = 0[/m]
4x + 6 = 0
x = -3/2 - точка, в которой y'' = 0.
x = 0 - точка, в которой y'' не существует.
При x < -3/2 будет y'' < 0, функция выпуклая (выпуклая вверх).
При x ∈ (-3/2; 0) будет y'' > 0, функция вогнутая (выпуклая вниз).
x = -3/2 - точка перегиба.
При x > 0 будет y'' > 0, функция вогнутая (выпуклая вниз).
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты имеют вид: f(x) = kx + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x^3}= \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2/x^2+1/x^3}{1} = \frac{0+0}{1}= 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - k \cdot x) = \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{2x+1}{x^2} - 0) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{2/x+1/x^2}{1} = 0[/m]
Горизонтальная асимптота: f(x) = 0, то есть ось Ox.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
Точка экстремума: [m]y(-1) = \frac{2(-1)+1}{(-1)^2} = \frac{-2+1}{1} = -1[/m]
Точка перегиба: [m]y(-\frac{3}{2}) = \frac{2(-3/2)+1}{(-3/2)^2} = \frac{-3+1}{9/4}= -\frac{8}{9}[/m]
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на первом рисунке.
3.5. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в полукруг радиусом а.
На втором рисунке я изобразил полукруг.
В него вписано несколько прямоугольников.
Два красных - в крайних положениях, у них площадь близка к 0.
Зеленый - тот, который нам нужен, у него площадь максимальна.
Радиус полукруга R = а, он нарисован синим цветом.
Обозначим стороны прямоугольника x и 2y.
Тогда половину одной стороны y можно найти по теореме Пифагора:
[m]y = \sqrt{a^2 - x^2}[/m]
Площадь прямоугольника:
[m]S=x \cdot y = x \cdot \sqrt{a^2 - x^2}[/m]
Это функция от переменной x, потому что радиус а нам известен.
Если площадь максимальна, то ее производная при таком x равна 0.
[m]S' = x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{a^2 - x^2}} + \sqrt{a^2 - x^2} = 0[/m]
[m]\frac{-x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \sqrt{a^2 - x^2} = 0[/m]
[m]\frac{-x^2 + (a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 0[/m]
[m]\frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 0[/m]
[m]a^2 - 2x^2 = 0[/m]
[m]x^2 = \frac{a^2}{2}[/m]
[m]x = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/m]
Тогда
[m]y = \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]2y = a\sqrt{2}[/m]
Стороны прямоугольника [m]x = \frac{a\sqrt{2}}{2}[/m] и [m]2y = a\sqrt{2}[/m]
Площадь этого прямоугольника:
[m]S = x \cdot y = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = a^2[/m]
Ответ: S = a^2
