Задача 80708 Даны вершины треугольника ABC A(-3, 7)...
Условие
ABC A(-3, 7) B(0, -1) C(2, 3)
Найдите:
а) уравнение высоты AH
б) уравнение медианы AM
в) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC
г) косинус угла при вершине A
Решение
Найдем уравнение стороны BC по двум точкам:
[m]\large (BC): \frac{x-0}{2-0} = \frac{y+1}{3+1}[/m]
[m]\large (BC): \frac{x}{2} = \frac{y+1}{4}[/m]
Можно умножить на 2 всё уравнение:
[m]\large (BC): \frac{x}{1} = \frac{y+1}{2}[/m]
а) Высота AH - это прямая через т. A, перпендикулярная BC.
Для неё должно выполняться равенство:
m1*m2 + n1*n2 = 0
У нас m1 = 1; n1 = 2, поэтому:
1*m2 + 2*n2 = 0
Отсюда m2 = 2, n2 = -1. Уравнение высоты AH:
[m]\large (AH): \frac{x+3}{2} = \frac{y-7}{-1}[/m]
б) Чтобы найти уравнение медианы AM, найдём точку M.
Так как это середина [BC], то её координаты - это средние арифметические координат точек B и C.
[m]\large M = (\frac{0+2}{2};\ \frac{-1+3}{2}) = (\frac{2}{2};\ \frac{2}{2}) = (1;\ 1)[/m]
Уравнение медианы AM по двум точкам:
[m]\large (AM): \frac{x+3}{1+3} = \frac{y-7}{1-7}[/m]
[m]\large (AM): \frac{x+3}{4} = \frac{y-7}{-6}[/m]
Можно умножить на 2 всё уравнение:
[m]\large (AM): \frac{x+3}{2} = \frac{y-7}{-3}[/m]
в) У прямой, параллельной BC и проходящей через т. А, коэффициенты будут такие же, как у самой BC: m1 и n1.
Уравнение этой прямой, назовём её AK:
[m]\large (AK): \frac{x+3}{1} = \frac{y-7}{2}[/m]
A(–3; 7) B(0; –1) C(2; 3)
г) Чтобы найти косинус угла при вершине А, нужно построить уравнения сторон AB и AC по двум точкам:
[m]\large (AB): \frac{x+3}{0+3} = \frac{y-7}{-1-7}[/m]
[m]\large (AB): \frac{x+3}{3} = \frac{y-7}{-8}[/m]
[m]\large (AC): \frac{x+3}{2+3} = \frac{y-7}{2-7}[/m]
[m]\large (AC): \frac{x+3}{5} = \frac{y-7}{-5}[/m]
Можно умножить всё уравнение на 5:
[m]\large (AC): \frac{x+3}{1} = \frac{y-7}{-1}[/m]
Косинус угла между прямыми AB и AC:
[m]\large \cos φ = \frac{m1 \cdot m2 + n1 \cdot n2}{\sqrt{m1^2+n1^2} \cdot \sqrt{m2^2+n2^2}} = \frac{3 \cdot 1 + (-8) \cdot (-1)}{\sqrt{3^2+(-8)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2}}[/m]
[m]\large \cos φ = \frac{3+ 8}{\sqrt{9+64} \cdot \sqrt{1+1}} = \frac{11}{\sqrt{73} \cdot \sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{146}} = \frac{11\sqrt{146}}{146}[/m]