Задача 80666 Провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
Все решения
y = (x – 2)² / (x + 1), x ≠ –1.
1. Область определения
x + 1 ≠ 0 ⇒ D = ℝ \ {–1}.
2. Пересечения с осями
• Oy (x = 0): y = (–2)² / 1 = 4 → (0; 4).
• Ox (y = 0): (x – 2)² = 0 ⇒ x = 2, 2 + 1 ≠ 0 → (2; 0).
Корень кратности 2, поэтому к оси х график касается.
3. Асимптоты
• вертикальная: x = –1 (т.к. y → –∞ при x → –1– и y → +∞ при x → –1+).
• наклонная: делим (x – 2)² на (x + 1):
(x – 2)²/(x + 1)=x – 5 + 9/(x + 1).
При |x| → ∞ последний член → 0, значит наклонная (облик) асимптота
y = x – 5.
Горизонтальной асимптоты нет.
4. Производная. Монотонность и экстремумы
y = x – 5 + 9/(x + 1) ⇒
y′ = 1 – 9/(x + 1)².
Критические точки:
1 – 9/(x + 1)² = 0 ⇒ (x + 1)² = 9 ⇒ x = –4, 2 (оба ∈ D).
Знаки y′:
| промежуток | (–∞, –4) | (–4, –1) | (–1, 2) | (2, ∞) |
|-----------------|----------|----------|---------|--------|
| y′ | + | – | – | + |
⇒ функция
• возрастает на (–∞; –4) и (2; ∞);
• убывает на (–4; –1) и (–1; 2).
Экстремумы
• x = –4: y(–4) = (–6)²/ (–3) = –12 (лок. максимум).
• x = 2: y(2) = 0 (лок. минимум).
5. Второе производное. Выпуклость
y′ = 1 – 9/(x + 1)² ⇒
y″ = 18/(x + 1)³.
• x < –1: y″ < 0 → график вогнут (конкава вниз).
• x > –1: y″ > 0 → график выпукл (конкава вверх).
Точек перегиба (y″ = 0) нет, так как 18 ≠ 0; при x = –1 функции нет.
6. Поведение на бесконечности
y = x – 5 + 9/(x + 1) ⇒
• x → –∞: y ~ x – 5 (идёт чуть ниже асимптоты).
• x → +∞: y ~ x – 5 (идёт чуть выше асимптоты, т.к. 9/(x + 1) > 0).
7. Ключевые точки для построения
• Вертик. асимптота: x = –1.
• Наклонная асимптота: y = x – 5.
• Лок. максимум: (–4; –12).
• Лок. минимум (и нуль функции): (2; 0).
• Пересечение с Oy: (0; 4).
8. Эскиз графика
Левая ветвь (x < –1):
– идёт вдоль y = x – 5 (ниже её), поднимается до (–4; –12), затем падает к –∞ при x → –1–.
Правая ветвь (x > –1):
– выходит из +∞ при x → –1+, убывает, проходит через (0; 4), касается оси Ox в (2; 0),
– дальше возрастает, стремясь к линии y = x – 5 (выше асимптоты).
На рисунке обязательно отметить: асимптоты, точки (–4; –12), (0; 4), (2; 0) и характер выпуклости по разные стороны от x = –1.