Задача 80665 ...
Условие
Решение
Я распишу подробно пункт а), а в остальных буду просто писать ответы.
Они все делаются одинаково.
а) (x - 3)(5x - 4)(8 - x) ≥ 0
Неравенство нестрогое, поэтому границы будут включены в промежутки.
Во-первых, нужно поменять знаки так, чтобы во всех скобках x был первым.
У нас надо поменять одну скобку, поэтому знак неравенства изменится.
Знак меняется, если надо поменять нечетное число скобок.
(x - 3)(5x - 4)(x - 8) ≤ 0
Отмечаем на числовой прямой точки, в которых левая часть равна 0:
x1 = 4/5; x2 = 3; x3 = 8
Получили промежутки:
(-oo; 4/5]; [4/5; 3]; [3; 8]; [8; +oo)
Берем любую точку внутри любого промежутка, например, x = 0:
(0 - 3)(5*0 - 4)(0 - 8) = (-3)(-4)(-8) = -3*4*8 ≤ 0
Здесь даже не надо считать число, важно только, оно больше 0 или меньше.
Результат нам подходит, значит, промежуток, содержащий 0 - это решение.
Это промежуток (-oo; 4/5].
Остальные промежутки подходят или не подходят через одного.
[4/5; 3] - нет; [3; 8] - да; [8; +oo) - нет.
Ответ: x ∈ (-oo; 4/5] U [3; 8]
б) (x + 8)(3 - x)(1,5 - x) < 0
Неравенство строгое, значит, нулевые точки не входят в решение.
Меняем две скобки, четное число, поэтому знак остается.
(x + 8)(x - 3)(x - 1,5) < 0
x1 = -8; x2 = 1,5; x3 = 3
Ответ: x ∈ (-oo; -8) U (1,5; 3)
в) 4(x + 3)(x - 2) > 0
Здесь скобки не меняются, всё уже стоит правильно.
x1 = -3; x2 = 2; Число 4 вообще не имеет значения.
Ответ: x ∈ (-oo; -3) U (2; +oo)
г) [m]\large \frac{x + 1}{3 - x} ≥ 0[/m]
Меняем знаменатель, знак меняется.
[m]\large \frac{x + 1}{x - 3} ≤ 0[/m]
Здесь неравенство нестрогое, поэтому числитель может равняться 0.
А знаменатель не может равняться 0 никогда.
x1 = -1; x2 = 3
Ответ: x ∈ [-1; 3)
д) x(x + 4)(x - 9) ≤ 0
Здесь ничего менять не нужно.
x1 = -4; x2 = 0; x3 = 9
Ответ: x ∈ (-oo; -4] U [0; 9]
е) [m]\large (x - 5)^{128}(x - 4)(x + 3)^{17} ≥ 0[/m]
Равенство нестрогое, поэтому все нулевые точки являются решениями.
x1 = -3; x2 = 4; x3 = 5
Можно разделить неравенство на скобки в четных степенях:
[m]\large (x - 5)^{128}[/m] и [m]\large (x + 3)^{16}[/m], знак неравенства не изменится.
[m]\large (x - 4)(x + 3) ≥ 0[/m]
Решение этого неравенства: x ∈ (-oo; -3] U [4; +oo)
Но не забываем, что точка x3 = 5 - тоже является решением.
Однако, эта точка входит в промежуток [4; +oo), поэтому она уже учтена.
Ответ: x ∈ (-oo; -3] U [4; +oo)
ж) [m]\large \frac{6x + 2}{x} > 2[/m]
Здесь самое главное: НЕЛЬЗЯ УМНОЖАТЬ НА X!
Нужно перенести 2 налево и привести всё выражение к одной дроби,
а справа оставить 0.
[m]\large \frac{6x + 2}{x} - 2 > 0[/m]
[m]\large \frac{6x + 2 - 2x}{x} > 0[/m]
[m]\large \frac{4x + 2}{x} > 0[/m]
[m]\large 2 \cdot \frac{2x + 1}{x} > 0[/m]
x1 = -1/2; x2 = 0
Ответ: x ∈ (-oo; -1/2) U (0; +oo)