Задача 80660 5. В правильной треугольной пирамиде...

6942a7f4fc938919023f4436

12/17/2025 12:55:24 PM

5. В правильной треугольной пирамиде MABC все рёбра равны 1, отрезок MO соединяет вершину пирамиды с центром основания ABC. Используя рисунок, найдите косинус угла между прямой MO и медианой BD грани MBC.

692ecb44a0211e4a1fadc32d

12/17/2025 2:56:52 PM

★

Дано: МАВС - правильная пирамида; все ребра равны 1;
МО - высота; ВD - медиана ΔВМС.
Найти: cos∠ (МО; BD)
Решение:
Проведем DK || MO
МО и BD - скрещивающиеся прямые.
⇒ ∠ (МО; BD) = ∠ BDK
O - точка пересечения высот, медиан, биссектрис.
Из ΔВЕС - прямоугольного:
[m]\displaystyle \frac{EC}{BC}=sin60^0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;EC=\frac{\sqrt{3}}{2} [/m]
[m]\displaystyle OC=\frac{2}{3}EC=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{3} [/m]
По теореме Пифагора для ΔОМС:
[m]\displaystyle MO=\sqrt{1-\frac{3}{9} }=\frac{\sqrt{6}}{3} [/m]
DK - средняя линия ΔОМС
[m]\displaystyle DK=\frac{\sqrt{6}}{6} [/m]
[m]\displaystyle BD=\frac{\sqrt{3}}{2} [/m]
[m]\displaystyle cos\angle BDK=\frac{DK}{BD}=\frac{\sqrt{6}\cdot2}{6\cdot \sqrt{3}} =\frac{\sqrt{2}}{3} [/m]