Задача 80659 ...
Условие
1) найти точки, лежащие на кривой, давая φ значения через промежуток, равный π/8, начиная от φ = 0 до φ = 2π;
2) построить кривую, соединив полученные точки линией;
3) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат (полюс совпадает с началом координат, положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью):
ρ = 1 / (2 - √5 cos φ).
Решение
1) Составить таблицу значений с шагом π/8.
Заметим, что:
[m]\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/m]; [m]\cos \frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/m]; [m]\cos \frac{5\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/m]; [m]\cos \frac{7\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/m].
Таблица значений:
[m]ρ(0) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos 0 } = \frac{1}{2-\sqrt{5}} ≈ -4,236 [/m]
[m]ρ(\frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{\pi}{8} } = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}/2} ≈ -15,184[/m]
[m]ρ(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{\pi}{4} } = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}/2} ≈ 2,387 [/m]
[m]ρ(\frac{3\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{3\pi}{8} } = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}/2} ≈ 0,874[/m]
[m]ρ(\frac{4\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{\pi}{2} } = \frac{1}{2-0} = \frac{1}{2} = 0,5[/m]
[m]ρ(\frac{5\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{5\pi}{8} } = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}/2} ≈ 0,35[/m]
[m]ρ(\frac{6\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{3\pi}{4} } = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}/2} ≈ 0,279[/m]
[m]ρ(\frac{7\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \frac{7\pi}{8} } = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}/2} ≈ 0,246[/m]
[m]ρ(\frac{8\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos \pi } = \frac{1}{2-\sqrt{5}(-1)} = \frac{1}{2+\sqrt{5}} ≈ 0,236 [/m]
Во 2 половине таблицы используем правило приведения: [b]cos (π + a) = -cos a[/b]
[m]ρ(\frac{9\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{\pi}{8} } = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}/2} ≈ 0,246[/m]
[m]ρ(\frac{10\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{\pi}{4} } = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}/2} ≈ 0,279[/m]
[m]ρ(\frac{11\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{3\pi}{8} } = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}/2} ≈ 0,35[/m]
[m]ρ(\frac{12\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{\pi}{2} } = \frac{1}{2+0} = \frac{1}{2} = 0,5[/m]
[m]ρ(\frac{13\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{5\pi}{8} } = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}/2} ≈ 0,874[/m]
[m]ρ(\frac{14\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{3\pi}{4} } = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}/2} ≈ 2,387[/m]
[m]ρ(\frac{15\pi}{8}) = \frac{1}{2+\sqrt{5} \cos \frac{7\pi}{8} } = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}/2} ≈ -15,184[/m]
[m]ρ(\frac{16\pi}{8}) = \frac{1}{2-\sqrt{5} \cos 0 } = \frac{1}{2-\sqrt{5}} ≈ -4,236[/m]
2) На рисунке 1 показан график этой функции в полярной системе координат.
Как видим, это гипербола.
3) Переводим уравнение в декартову систему координат по формулам:
[m] ρ = \sqrt{x^2 + y^2}[/m]; [m]\cos \phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/m]; [m]\sin \phi = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/m]
Подставляем:
[m]\large \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2 - \sqrt{5} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}[/m]
[m]\large \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2\sqrt{x^2 + y^2} - \sqrt{5} \cdot x}[/m]
Делим всё на [m]\sqrt{x^2 + y^2}[/m]:
[m]\large 1 = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2} - x \sqrt{5}}[/m]
[m]2\sqrt{x^2 + y^2} - x \sqrt{5} = 1[/m]
[m]2\sqrt{x^2 + y^2} = x \sqrt{5} + 1[/m]
Возводим в квадрат левую и правую части:
[m]4(x^2 + y^2) = 5x^2 + 2x\sqrt{5} + 1[/m]
[m]4y^2 = x^2 + 2x\sqrt{5} + 1[/m]
[m]x^2 + 2x\sqrt{5} + 1 - 4y^2 = 0[/m]
Выделяем полный квадрат:
[m](x^2 + 2x\sqrt{5} + 5) - 5 + 1 - 4y^2 = 0[/m]
[m](x + \sqrt{5})^2 - 4y^2 = 4[/m]
Делим всё на 4, чтобы справа было 1:
[m]\large \frac{(x + \sqrt{5})^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1[/m]
Это гипербола с центром (-sqrt(5); 0) и полуосями a = 2; b = 1.
Она показана на рисунке 2.
Как видим, чертежи совершенно одинаковые, это значит, что всё решено верно.
