Задача 80658 решение 1.1...
Условие
Решение
[m]\begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
3 & 6 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 6 & 4 \\
2 & 3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix}[/m]
i = 4; j = 1.
1) Минор элемента a_(42):
[m]M_{42} = \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
3 & -2 & 5 \\
1 & 6 & 4 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1(-2)*4 + 0*3*6 + (-2)*5*1 - 0(-2)*1 - (-2)*3*4 - 1*5*6 =
= -8 + 0 - 10 - 0 + 24 - 30 = -24
Алгебраическое дополнение элемента a_(42):
[m]A_{42} = (-1)^{4+2} \cdot M_{42} = 1 \cdot M_{42} = -24[/m]
2) Минор элемента a_(31):
[m]M_{31} = \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
6 & -2 & 5 \\
3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1(-2)(-1) + 0*5*6 + (-2)*5*3 - 0(-2)*3 - (-2)(-1)*6 - 1*5*5 =
= 2 + 0 - 30 - 0 - 12 - 25 = -65
Алгебраическое дополнение элемента a_(31):
[m]A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot M_{31} = 1 \cdot M_{31} = -65[/m]
3) Найти определитель:
а) Разложением по i = 4 строке
[m]Δ = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
3 & 6 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 6 & 4 \\
2 & 3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} = (-1)^5 \cdot 2 \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
6 & -2 & 5 \\
0 & 6 & 4 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m]+ (-1)^6 \cdot 3 \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
3 & -2 & 5 \\
1 & 6 & 4 \\
\end{vmatrix} + (-1)^7 \cdot 5 \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
3 & 6 & 5 \\
1 & 0 & 4 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m] + (-1)^8 \cdot (-1) \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
3 & 6 & -2 \\
1 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= -2*(1(-2)*4 + 0*6*6 + (-2)*5*0 - 0(-2)*0 - 1*5*6 - (-2)*6*4) +
+ 3*(1(-2)*4 + 0*3*6 + (-2)*5*1 - 0(-2)*1 - 1*5*6 - (-2)*3*4) -
- 5*(1*6*4 + 0*3*0 + 1*5*1 - 0*6*1 - 1*5*0 - 1*3*4) -
- (1*6*6 + (-2)*3*0 + 1*(-2)*1 - (-2)*6*1 - 1*(-2)*0 - 1*3*6) =
= -2*(-8 - 30 + 48) + 3*(-8 - 10 - 30 + 24) - 5*(24 + 5 - 12) -
- (36 - 2 + 12 - 18) = -2*10 + 3*(-24) - 5*17 - 28 = -205
[b] Δ = -205[/b]
б) Разложением по j = 1 столбцу
[m]Δ = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
3 & 6 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 6 & 4 \\
2 & 3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} = (-1)^2 \cdot 1 \begin{vmatrix}
6 & -2 & 5 \\
0 & 6 & 4 \\
3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m]+ (-1)^3 \cdot 3 \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 6 & 4 \\
3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} + (-1)^4 \cdot 1 \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
6 & -2 & 5 \\
3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m]+ (-1)^5 \cdot 2 \begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
6 & -2 & 5 \\
0 & 6 & 4 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1*(6*6(-1) + 5*0*5 + (-2)*3*4 - 5*6*3 - 6*5*4 - (-2)(-1)*0) -
- 3*(1*6(-1) + 0*0*5 + (-2)*3*4 - 0*6*3 - 1*5*4 - (-2)(-1)*0) +
+ 1*(1(-2)(-1) + 0*6*5 + (-2)*3*5 - 0(-2)*3 - 1*5*5 - (-2)(-1)*6) -
- 2*(1(-2)*4 + 0*6*6 + (-2)*0*5 - 0(-2)*0 - 1*5*6 - (-2)*4*6) =
= (-36 - 24 - 90 - 120) - 3*(-6 - 24 - 20) + (2 - 30 - 25 - 12) -
- 2*(-8 - 30 + 48) = -270 - 3(-50) + (-65) - 2*10 = -205
[b] Δ = -205[/b]
в) Получив нули в i = 4 строке
[m] Δ = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
3 & 6 & -2 & 5 \\
1 & 0 & 6 & 4 \\
2 & 3 & 5 & -1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
0 & -1 & 8 & 4 \\
0 & 1 & 9 & -1 \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 0 & \frac{28}{3} & \frac{17}{3} \\
0 & 0 & \frac{23}{3} & -\frac{8}{3} \\
\end{vmatrix} =[/m]
Сначала умножили 1 строку на -3 и сложили со 2 строкой,
умножили 1 строку на -1 и сложили с 3 строкой,
умножили 1 строку на -2 и сложили с 4 строкой.
Потом умножали 2 строку на 1/3 и сложили с 3 строкой,
умножили 2 строку на -1/3 и сложили с 4 строкой.
[m]= \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 0 & \frac{28}{3} & \frac{17}{3} \\
0 & 0 & 0 & \frac{-17 \cdot 23}{3 \cdot 28}-\frac{8 \cdot 28}{3 \cdot 28} \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 3 & 4 & 5 \\
0 & 0 & \frac{28}{3} & \frac{17}{3} \\
0 & 0 & 0 & \frac{-615}{84} \\
\end{vmatrix}[/m]
3 строку умножили на -23/28 и сложили с 4 строкой, посчитали.
Определитель равен произведению чисел на главной диагонали.
Δ= 1*3*28/3*(-615)/84 = -28*205/28 = -205
[b] Δ = -205[/b]