Задача 80624 нужно решить...
Условие
Решение
1) а) [m]\lim \limits_{x \to 1+} \frac{arctg\ (x-1)}{\sqrt{x^2+x-2}}[/m]
Чтобы решить этот предел с помощью правила Лопиталя, нужно взять производные от числителя и знаменателя:
[m](arctg\ (x-1))' = \frac{1}{1 + (x-1)^2} = \frac{1}{x^2-2x+2}[/m]
[m](\sqrt{x^2+x-2})' = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x-2}}[/m]
Подставляем в предел:
[m]\lim \limits_{x \to 1+} \frac{1}{x^2-2x+2} : \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x-2}} = [/m]
[m]= \lim \limits_{x \to 1+} \frac{2\sqrt{x^2+x-2}}{(x^2-2x+2)(2x+1)} = \frac{2\sqrt{1^2+1-2}}{(1^2-2+2)(2+1)} = \frac{2\sqrt{0}}{1 \cdot 3} = 0[/m]
б) [m]\large \lim \limits_{x \to π/2-} (π - 2x)^{\cos x} = \lim \limits_{x \to π/2-} e^{\ln (π - 2x)^{\cos x}} = [/m]
[m]\large = e^{\lim \limits_{x \to π/2-} \cos x \ln (π - 2x)} = e^{\lim \limits_{x \to π/2-} \frac{\ln (π - 2x)}{1/\cos x}}[/m]
Берем производные от числителя и знаменателя:
[m](\ln (π - 2x))' = \frac{-2}{π - 2x}[/m]
[m](\frac{1}{\cos x})' = \frac{0-(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}[/m]
Подставляем в предел:
[m]\large e^{\lim \limits_{x \to π/2-} (\frac{-2}{π - 2x} : \frac{\sin x}{\cos^2 x})} = e^{\lim \limits_{x \to π/2-} (\frac{-2 \cos^2 x}{(π - 2x) \sin x}}[/m]
Применим еще раз правило Лопиталя:
[m](-2 \cos^2 x)' = -4\cos x (-\sin x) = 2\cos 2x[/m]
[m]((π - 2x) \sin x)' = -2 \sin x + (π - 2x) \cos x[/m]
Подставляем в предел:
[m]\large = e^{-2 \lim \limits_{x \to π/2-} \frac{2\cos 2x}{-2 \sin x + (π - 2x) \cos x}} = e^{\frac{2\cos π}{-2 \sin (π/2-) + (π - π) \cos (π/2-)}} =[/m]
[m]\large = e^{\frac{2(-1)}{-2 \cdot 1 + 0 \cdot 0}} = e^1 = e[/m]
2) График функции прилагается
3 и 4 не знаю.
5) y = -sqrt(x) + 2
Уравнение нормали к кривой в точке пересечения с биссектрисой 1 угла.
Биссектриса 1 координатного угла - это прямая y = x при x > 0
Пересечение прямой и кривой:
x = -sqrt(x) + 2
x + sqrt(x) - 2 = 0
Это квадратное уравнение относительно sqrt(x)
(sqrt(x) - 1)(sqrt(x) + 2) = 0
sqrt(x) = -2 - не подходит
sqrt(x) = 1
x = 1, y = 1
Уравнение нормали к кривой в точке M0(x0; y0):
[m]n(x) = y(x0) - \frac{1}{y'(x0)} (x - x0)[/m]
[m]y'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}};\ \ y'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}[/m]
Уравнение нормали:
[m]n(x) = 1 - \frac{1}{-1/2} (x - 1) = 1 + 2(x - 1) = 1 + 2x - 2[/m]
[m]n(x) = 2x - 1[/m]
6) Функция задана параметрически:
{ x = (t^3 - 2t^2 + 3t - 4)e^(t)
{ y = (t^3 - 2t^2 + 4t - 4)e^(t)
Найти вторую производную.
Сначала находим первую производную по формуле:
[m]y'_{x} = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} : \frac{dx}{dt}[/m]
[m]\frac{dy}{dt} = (3t^2 - 4t + 4)e^{t} + (t^3 - 2t^2 + 4t - 4)e^{t} = (t^3 + t^2)e^t[/m]
[m]\frac{dx}{dt} = (3t^2 - 4t + 3)e^{t} + (t^3 - 2t^2 + 3t - 4)e^{t} = (t^3+t^2 - t - 1)e^t[/m]
Первая производная:
[m]y'_{x} = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} : \frac{dx}{dt} = \frac{(t^3 + t^2)e^{t}}{(t^3+t^2 - t - 1)e^{t}} =[/m]
[m]= \frac{t^3 + t^2}{t^3+t^2 - t - 1} = \frac{t^2(t + 1)}{t^2(t+1) - 1(t + 1)} = \frac{t^2}{t^2 - 1}[/m]
Теперь находим вторую производную по формуле:
[m]\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(y'_{x})}{dt} : \frac{dx}{dt}[/m]
Нам надо взять производную по t от производной y'_(x)
[m]\frac{d(y'_{x})}{dt} = (\frac{t^2}{t^2 - 1})'_{t} = \frac{2t(t^2-1) - t^2 \cdot 2t}{(t^2-1)^2}= \frac{2t^3-2t - 2t^3}{(t^2-1)^2} = \frac{-2t}{(t^2-1)^2}[/m]
Вторая производная:
[m]\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(y'_{x})}{dt} : \frac{dx}{dt} = \frac{-2t}{(t^2-1)^2} : ((t^3+t^2 - t - 1)e^t) =[/m]
[m]= -\frac{2t}{(t^2-1)^2(t^3+t^2 - t - 1)e^t} = -\frac{2t}{(t^2-1)^2 \cdot (t^2(t+1) - 1(t + 1))e^t} = -\frac{2t}{(t^2-1)^3(t+1)e^t}[/m]
