Задача 80615 Даны вершины А (x1; y1), В (x2;y2),...
Условие
1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение
медианы, проведенной через вершину С; 5) точка пересечения высот
треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему
линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделать чертеж 18. А(2,3) В(8,6) С(5,7)
Решение
1) [m]|AB| = \sqrt{(8-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}[/m]
2) [m]AB = (8-2; 6-3) = (6; 3);\ AC = (5-2; 7-3) = (3; 4)[/m]
[m]\cos BAC = \frac{AB \cdot AC}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{4 \cdot 3 + 3 \cdot 4}{\sqrt{(8-2)^2 + (6-3)^2} \cdot \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2}} = [/m]
[m]= \frac{12 + 12}{3\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{25} ≈ 0,7155[/m]
[m]BAC ≈ 0,773[/m] [b]рад.[/b]
3) Высота из точки С - это перпендикуляр к AB через C.
Уравнение прямой AB:
[m]\frac{x-2}{8-2} = \frac{y-3}{6-3}[/m] ⇒ [m]\frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{1}[/m]
Уравнение высоты CH:
[m]\frac{x-5}{-1} = \frac{y-7}{2}[/m]
4) Точка M - середина AB:
[m]M(\frac{8+2}{2};\ \frac{6+3}{2}) = (5;\ 4,5)[/m]
Уравнение медианы CM:
[m]\frac{x-5}{5-5} = \frac{y-7}{4,5-7}[/m] ⇒ [m]\frac{x-5}{0} = \frac{y-7}{-2,5}[/m] ⇒ [m]x = 5[/m]
5) Уравнение высоты CH:
[m]\frac{x-5}{-1} = \frac{y-7}{2}[/m]
Уравнение прямой AC:
[m]\frac{x-2}{5-2} = \frac{y-3}{7-3}[/m] ⇒ [m]\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4}[/m]
Уравнение высоты BL:
[m]\frac{x-8}{-4} = \frac{y-6}{3}[/m]
Точку пересечения высот найдем из системы:
[m]\begin{cases}
\frac{x-5}{-1} = \frac{y-7}{2} \\
\frac{x-8}{-4} = \frac{y-6}{3} \\
\end{cases}[/m]
Умножаем 1 уравнение на 2, 2 уравнение на 12:
[m]\begin{cases}
-2(x-5) = y-7 \\
-3(x-8) = 4(y-6) \\
\end{cases}[/m]
Раскрываем скобки и приводим подобные:
[m]\begin{cases}
y = -2x+17 \\
4y = -3x+48 \\
\end{cases}[/m]
Подставляем y из 1 уравнения во 2 уравнение:
[m]4(-2x+17) = -3x+48[/m]
[m]-8x + 68 = -3x+48[/m]
[m]x = 4[/m]
[m]y = - 2 \cdot 4 + 17 = 9[/m]
[m]O(4;\ 9)[/m]
Точка O оказалась за пределами треугольника ABC,
потому что высота BL тоже проходит вне треугольника ABC.
6) Высота из вершины С - это CH.
H - это точка пересечения стороны AB и высоты CH.
[m]\begin{cases}
\frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{1} \\
\frac{x-5}{-1} = \frac{y-7}{2} \\
\end{cases}[/m]
Умножаем оба уравнения на 2:
[m]\begin{cases}
x-2 = 2(y-3) \\
-2(x-5) = y-7 \\
\end{cases}[/m]
Раскрываем скобки и приводим подобные:
[m]\begin{cases}
x = 2y-4 \\
y = -2x+17 \\
\end{cases}[/m]
Подставляем y из 2 уравнения в 1 уравнение:
[m]x = 2(-2x + 17) - 4[/m]
[m]x = -4x + 34 - 4[/m]
[m]x = 6[/m]
[m]y = -2 \cdot 6 + 17 = 5[/m]
[m]H(6;\ 5)[/m]
[m]|CH| = \sqrt{(6-5)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}[/m]
7) Систему линейных неравенств - это не знаю, как сделать.
Чертеж треугольника с высотами и медианой прилагается.