Задача 80602 Проверить совместимость системы...

691cd11763e2fb1bc3f4d2cb

11/18/2025 8:04:02 PM

Проверить совместимость системы уравнений и в случае ее совместимости решить ее а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

[m]
\begin{cases}
3x - 2y + 4z = 21, \\
3x + 4y - 2z = 9, \\
2x - y - z = 10.
\end{cases}
[/m]

68501b46d00c766c9c688611

11/18/2025 8:06:14 PM

★

Дана система

⎧ 3x – 2y + 4z = 21
⎪ 3x + 4y – 2z = 9
⎨ (1)
⎩ 2x – y – z = 10

Её коэффициентная матрица

A = ⎡ 3 –2 4 ⎤
   ⎢ 3 4 –2 ⎥ ,   b = (21, 9, 10)ᵀ
   ⎣ 2 –1 –1 ⎦

I. Проверим совместность (detA≠0)
Δ = |A| =
3·| 4 –2; –1 –1| – (–2)·| 3 –2; 2 –1| + 4·| 3 4; 2 –1|
= 3·(4·(–1) – (–2)·(–1)) – (–2)·(3·(–1) – (–2)·2) + 4·(3·(–1) – 4·2)
= 3·(–6) + 2·1 + 4·(–11) = –18 + 2 – 44 = –60 ≠ 0.

Δ≠0 ⇒ система совместна и имеет единственное решение.

-------------------------------------------------------------------
а) Решение по формулам Крамера
-------------------------------------------------------------------
Δₓ = | 21 –2 4; 9 4 –2; 10 –1 –1| = –300
Δᵧ = | 3 21 4; 3 9 –2; 2 10 –1| = 60
Δ_z = | 3 –2 21; 3 4 9; 2 –1 10| = –60

x = Δₓ / Δ = (–300)/(–60) = 5
y = Δᵧ / Δ = 60 /(–60) = –1
z = Δ_z / Δ = (–60)/(–60) = 1

-------------------------------------------------------------------
б) Решение с помощью обратной матрицы
-------------------------------------------------------------------
Найдём A⁻¹ = (1/Δ)·adjA.
Матрица алгебраических дополнений

C = ⎡ –6 –1 –11 ⎤
  ⎢ –6 –11 –1 ⎥
  ⎣ –12 18 18 ⎦

adjA = Cᵀ = ⎡ –6 –6 –12 ⎤
       ⎢ –1 –11 18 ⎥
       ⎣ –11 –1 18 ⎦

A⁻¹ = –1/60 · adjA =
⎡ 1/10 1/10 1/5 ⎤
⎢ 1/60 11/60 –3/10⎥
⎣11/60 1/60 –3/10⎦

x⃗ = A⁻¹b =
⎡ 1/10 1/10 1/5 ⎤ ⎡21⎤ ⎡ 5 ⎤
⎢ 1/60 11/60 –3/10⎥⎢ 9⎥ = ⎢–1⎥
⎣11/60 1/60 –3/10⎦⎢10⎥ ⎣ 1 ⎦

-------------------------------------------------------------------
в) Метод Гаусса (прямой + обратный ход)
-------------------------------------------------------------------
[ 3 –2 4 | 21 ]
[ 3 4 –2 | 9 ] – R₂←R₂–R₁ → [ 0 6 –6 | –12 ]
[ 2 –1 –1 | 10 ] – R₃←R₃–(2/3)R₁ → [ 0 1 –11 | –12 ]

Делим вторую строку на 6: [0 1 –1 | –2].
R₃←R₃–R₂ ⇒ [0 0 –10 | –10] ⇒ делим на –10: [0 0 1 | 1].

Обратный ход:
z = 1
y – z = –2 ⇒ y = –1
3x – 2y + 4z = 21 ⇒ 3x +2 +4 = 21 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5.

-------------------------------------------------------------------
Итоговое решение системы

x = 5, y = –1, z = 1.