Задача 80542 Помогите сделать ...
Условие
Решение
В каждом произведении элементов матрицы должны присутствовать элементы по одному из каждой строки и из каждого столбца.
m = a(4i)*a(j2)*a(36)*a(k5)*a(61)*a(53)
Строки номер 4, 3, 6 и 5 уже заняты, значит, j и k должны быть 1 и 2.
Столбцы 2, 6, 5, 1, 3 заняты, значит, i = 4, другое число не подходит.
Таким образом, получаем:
m = a(44)*a(j2)*a(36)*a(k5)*a(61)*a(53)
Возможные варианты:
m1 = a(44)*a(12)*a(36)*a(25)*a(61)*a(53)
m2 = a(44)*a(22)*a(36)*a(15)*a(61)*a(53)
Вопрос: Какой из этих вариантов будет с минусом?
Правило такое:
[b]Слагаемое берётся со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают чётное число. В противном случае слагаемое берётся со знаком «минус».[/b]
От перемены мест множителей произведение не меняется, поэтому расположим первые индексы по порядку:
m1 = a(12)*a(25)*a(36)*a(44)*a(53)*a(61)
m2 = a(15)*a(22)*a(36)*a(44)*a(53)*a(61)
У m1 вторые индексы расположены в порядке: 256431. А надо 123456.
Чтобы получить правильный порядок, нужно 1 переставить 5 раз, 2 стоит на месте, 3 - 3 раза, 4 - 2 раза, 5 и 6 стоят на месте. Всего 5+3+2 = 10 раз.
Значит, m1 будет с плюсом.
У m2 вторые индексы расположены в порядке: 526431. А надо 123456.
Чтобы получить правильный порядок, нужно 1 переставить 5 раз, 2 - 1 раз, 3 - 3 раза, 4 - 2 раза, 5 и 6 стоят на месте. Всего 5+1+3+2 = 11 раз.
Значит, m2 будет с минусом.
Ответ: [b]i = 4; j = 2; k = 1[/b]
2) [m]\begin{vmatrix}
3 & 0 & 0 & 6 \\
4 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 8 & 3 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
\end{vmatrix}[/m]
Нужно найти определитель строго по определению.
Определитель 4 порядка в общем виде раскрывается так:
Δ=a(11)*a(22)*a(33)*a(44)+a(11)*a(24)*a(32)*a(43)+a(11)*a(23)*a(34)*a(42)-
- a(11)*a(24)*a(33)*a(42) - a(11)*a(22)*a(34)*a(43) - a(11)*a(23)*a(32)*a(44) -
- a(12)*a(21)*a(33)*a(44) - a(12)*a(24)*a(31)*a(43) - a(12)*a(23)*a(34)*a(41) +
+ a(12)*a(24)*a(33)*a(41) + a(12)*a(21)*a(34)*a(43) + a(12)*a(23)*a(31)*a(44) +
+ a(13)*a(21)*a(32)*a(44) + a(13)*a(24)*a(31)*a(42) + a(13)*a(22)*a(34)*a(41) -
- a(13)*a(24)*a(32)*a(41) - a(13)*a(21)*a(34)*a(42) - a(13)*a(22)*a(31)*a(44) -
- a(14)*a(21)*a(32)*a(43) - a(14)*a(23)*a(31)*a(42) - a(14)*a(22)*a(33)*a(41) +
+ a(14)*a(23)*a(32)*a(41) + a(14)*a(21)*a(33)*a(42) + a(14)*a(22)*a(31)*a(43)
Подставляем числа:
Δ = 3*0*3*5 + 3*7*8*0 + 3*0*0*7 - 3*7*3*7 - 3*0*0*0 - 3*0*8*5 -
- 0*4*3*5 - 0*7*0*0 - 0*0*0*0 + 0*7*3*0 + 0*4*0*0 + 0*0*0*5 +
+ 0*4*8*5 + 0*7*0*7 + 0*0*0*0 - 0*7*8*0 - 0*4*0*7 - 0*0*0*5 -
- 6*4*8*0 - 6*0*0*7 - 6*0*3*0 + 6*0*8*0 + 6*4*3*7 + 6*0*0*0
Убрав все нули, получаем:
Δ = - 21*21 + 24*21 = 21*(24 - 21) = 21*3 = 63
[b]Δ = 63[/b]
3) Вычислить определители матриц:
[m]|A| = \begin{vmatrix}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 2 & 3 \\
-1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 2*2*1 + 1(-1)*1 + 0*3(-1) - 1*2(-1) - 0(-1)*1 - 2*3*1 = 4-1+2-6 = -1
[b]|A| = -1[/b]
[m]|B| = \begin{vmatrix}
3 & -1 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 9 + 2 = 11[/m]
[b]|B| = 11[/b]
[m]|C| = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & 1 \\
2 & -1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}[/m]
Раскладываем по 3 столбцу:
[m](-1) \cdot \begin{vmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-1 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix} + 0 - 0 =[/m]
= (-1)*(0+(-1)(-1)(-1)+2*2*1-(-1)*2*2-0-2(-1)*1) -
- (1*2*1+2(-1)(-1)+1*1*2-2*2*2-1(-1)*1-1*1(-1)) =
= -(-1 + 4 + 4 + 2) - (2 + 2 + 2 - 8 + 1 + 1) = -9-0 = -9
[b]|C| = -9[/b]
[m]|D| = \begin{vmatrix}
2 & 2 & 4 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -8 & 3 & 2 \\
3 & 8 & -3 & 2 & 5 \\
2 & 0 & 1 & 3 & 2 \\
1 & -1 & 0 & 2 & 3 \\
\end{vmatrix}[/m]
Сводим эту матрицу к треугольной.
Это можно сделать, складывая строки или столбцы.
Умножаем 1 строку на 3, а 3 строку на -2 и складываем их.
Умножаем 1 строку на -1 и складываем с 4 строкой.
Умножаем 5 строку на -2 и складываем с 1 строкой.
[m]|D| = \begin{vmatrix}
2 & 2 & 4 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -8 & 3 & 2 \\
0 & -10 & 18 & -4 & -16 \\
0 & -2 & -3 & 3 & 4 \\
0 & 4 & 4 & -4 & -8 \\
\end{vmatrix}[/m]
Умножаем 2 строку на 2 и складываем с 3 строкой.
Умножаем 2 строку на 2, а 4 строку на 5 и складываем их.
Умножаем 2 строку на 4, а 5 строку на -5 и складываем их.
[m]|D| = \begin{vmatrix}
2 & 2 & 4 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -8 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 2 & -12 \\
0 & 0 & -31 & 21 & 24 \\
0 & 0 & -52 & 32 & 48 \\
\end{vmatrix}[/m]
Умножаем 3 строку на 31, а 4 строку на 2 и складываем их.
Умножаем 3 строку на 26 и складываем с 5 строкой.
[m]|D| = \begin{vmatrix}
2 & 2 & 4 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -8 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 2 & -12 \\
0 & 0 & 0 & 104 & -324 \\
0 & 0 & 0 & 84 & -264 \\
\end{vmatrix}[/m]
Умножаем 4 строку на 21, а 5 строку на -26 и складываем их.
[m]|D| = \begin{vmatrix}
2 & 2 & 4 & 0 & -2 \\
0 & 5 & -8 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 2 & -12 \\
0 & 0 & 0 & 104 & -324 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 60 \\
\end{vmatrix}[/m]
Теперь определитель этой матрицы вычисляется элементарно:
нужно перемножить элементы на главной диагонали.
[b]|D| = 2*5*2*104*60 = 124800[/b]