Задача 80528 Как найти площадь прямоугольного...
Условие
Дан прямоугольный треугольник, у которого известны углы:
15° , 75° и 90°, а также известна длина гипотенузы c.
Как найти его площадь?
Задача элементарная, но есть дополнительное условие:
Тригонометрией пользоваться нельзя!
Формулы площади треугольника мы знаем, кроме той, которая использует синус угла.
Решение
катеты a = BC, b = CA, гипотенуза c = AB,
углы ∠A = 15°, ∠B = 75°, ∠C = 90°.
Площадь прямоугольного треугольника равна
S = ab / 2, (1)
поэтому надо выразить произведение ab через c, не прибегая к синусам, косинусам и т. д.
1. «Упаковка» треугольников в квадрат
Возьмём восемь (8) копий нашего треугольника и расположим их, как показано на рисунке:
• у каждой копии гипотенуза откладывается наружу;
• 15-градусный угол каждого треугольника прикладываем к 75-градусному углу соседнего
(15° + 75° = 90°), так что вокруг каждой вершины вновь получается прямой угол.
В результате стороны, на которые легли гипотенузы, образуют простую замкнутую
четырёхугольную линию, все её углы прямые, а все стороны равны c.
Следовательно, получилась фигура, являющаяся квадратом со стороной c.
(На рисунке виден квадрат, «обложенный» восьмью одинаковыми треугольниками.)
2. Сравнение площадей
• Площадь полученного квадрата равна c².
• Он составлен ровно из восьми наших треугольников, поэтому
8 S = c²,
S = c² / 8. (2)
3. Ответ
Площадь прямоугольного треугольника с углами 15°, 75°, 90° и гипотенузой c равна
S = c² / 8.
Никаких тригонометрических функций в рассуждении не использовалось: мы лишь
раскладывали восемь одинаковых треугольников в квадрат и сравнивали площади.