Задача 80504 Помогите решить 6 задание 6. Найти...
Условие
6. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции
[m]
y =
\begin{cases}
x^{-1}, & x < 0 \\
5^{x}, & 0 \leq x \leq 1 \\
x, & x > 1
\end{cases}
[/m]
Решение
Все решения
x^{-1}, & x < 0 \\
5^{x}, & 0 ≤ x ≤ 1 \\
x, & x > 1 \\
\end{cases}[/m]
Каждая из функций непрерывна на своем промежутке.
То есть y(x) кусочно-непрерывная функция. Проверим точки разрыва.
y(0) = 5^0 = 1 - функция определена в этой точке.
Пределы слева и справа:
[m]\large \lim \limits_{x \to 0-0} y = x^{-1} = \frac{1}{x} = \frac{1}{0-0} = -\infty[/m]
[m]\large \lim \limits_{x \to 0+0} y = 5^{x} = 5^{0+0} = 5^0 = 1[/m]
Предел слева не существует, функция уходит в бес-конечность.
Значит, в точке x = 0 - неустранимый разрыв 2 рода.
y(1) = 5^1 = 5 - функция определена в этой точке.
Пределы слева и справа:
[m]\large \lim \limits_{x \to 1-0} y = 5^{x} = 5^{1-0} = 5^1 = 5[/m]
[m]\large \lim \limits_{x \to 1+0} y = x = 1[/m]
Пределы слева и справа существуют, но они разные. Происходит скачок.
Значит, в точке x = 1 - неустранимый разрыв 1 рода - скачок функции.
График показан на рисунке.