Задача 80494 Настя утверждает, что нашла удивительное...

68cc6e2445525b56e490c433

10/12/2025 8:25:18 AM

Настя утверждает, что нашла удивительное натуральное число.

А удивительно оно, по мнению Насти, тем, что если записать рядом его квадрат и его куб (без пробела и именно в таком порядке), то получившееся число будет содержать каждую из десятичных цифр ровно по одному разу.

Можно ли верить Насте? И если да, то сколько всего таких удивительных чисел?

626fab9a354ab65fb2f43abb

11/11/2025 4:17:05 PM

★

Заметим, что число должно быть двузначным, потому что однозначное число в квадрате даст 1 или 2 знака, а в кубе 1, 2 или 3 знака.
Всего получается меньше 10 цифр.
Двузначное число должно быть таким, чтобы в квадрате получилось 3 цифры, а в кубе 5 цифр.
Значит, все числа ограничены от 23 до 31. Потому что:
21^2 = 441, 21^3 = 9261 - имеет ещё 4 цифры, всего 9 цифр.
22 - не подходит, потому что цифра 2 повторяется.
32^2 = 1024 - имеет уже 4 цифры, 32^3 = 32768, всего 11 цифр.
Далее, посмотрим, какие цифры могут быть последними.
Если число кончается на 0, 1, 5 или 6, то оно в любой степени будет кончаться на эту же цифру. Получаются повторы, это нам не подходит.
2^2 = 4; 2^3 = 8: последние цифры 2, 4, 8 - подходит
3^2 = 9; 3^3 = 27: последние цифры 3, 9, 7 - подходит
4^2 = 16; 4^3 = 64: последние цифры 4, 6, 4 - не подходит
7^2 = 49; 7^3 = 343: последние цифры 7, 9, 3 - подходит
8^2 = 64; 8^3 = 512: последние цифры 8, 4, 2 - подходит
9^2 = 81; 9^3 = 729: последние цифры 9, 1, 9 - не подходит

Итак, остается проверить варианты:
23: 23^2 = 529; 23^3 = 12167 - не подходит, 1 и 2 повторяются.
27: 27^2 = 729; 27^3 = 19683 - не подходит, 2 и 7 повторяются.
28: 28^2 = 784; 28^3 = 21952 - не подходит, 2 и 8 повторяются.
Как видим, ни одно из чисел не подходит.

Ответ: Настя ошиблась.