Задача 80490 Решение...
Условие
Решение
(векторные координаты записываем столбиком или в фигурных скобках, все вычисления – по компонентам)
────────────────────────
1.16 a = {7; 9; –2}, b = {5; 4; 3}
4a = {28; 36; –8}
с₁ = 4a – b = {28–5; 36–4; –8–3} = {23; 32; –11}
4b = {20; 16; 12}
с₂ = 4b – a = {20–7; 16–9; 12–(–2)} = {13; 7; 14}
Ответ: с₁ = {23; 32; –11}, с₂ = {13; 7; 14}
────────────────────────
2.16 a = {–1; 4; 2}, b = {2; 2; 3}
1. Сумма и разность
a + b = {1; 6; 5}, a – b = {–3; 2; –1}
2. Скалярное произведение
a·b = (–1)·2 + 4·2 + 2·3 = 12
3. Длины
|a| = √[(–1)² + 4² + 2²] = √21
|b| = √[2² + 2² + 3²] = √17
4. Косинус угла
cos φ = (a·b)/( |a|·|b| ) = 12 / √(21·17) ≈ 0.635 → φ ≈ 50.6°
5. Векторное произведение
a × b = | i j k ; –1 4 2 ; 2 2 3 |
= { 4·3 – 2·2 ; –[ (–1)·3 – 2·2 ] ; (–1)·2 – 4·2 }
= { 12–4 ; –( –3–4 ); –2–8 }
= { 8; 7; –10}
|a × b| = √(8² + 7² + (–10)²) = √213
(площадь параллелограмма ‑ |a×b|, треугольника – половина)
────────────────────────
3.16 a = {–2; 4; –9}, b = {–7; 3; 6}, c = {1; 1; 1}
Смешанное произведение [a b c] = a·(b × c).
Сначала b × c:
b × c = | i j k ; –7 3 6 ; 1 1 1 |
= { 3·1 – 6·1 ; –[ (–7)·1 – 6·1 ] ; (–7)·1 – 3·1 }
= { –3 ; +13 ; –10}
Теперь скалярим с a:
(–2)(–3) + 4·13 + (–9)(–10) = 6 + 52 + 90 = 148
Объём параллелепипеда |[a b c]| = 148.
(если нужен объём тетраэдра – делится ещё на 6).
────────────────────────
4.16 A(3; –6; 9), B(0; –3; 6), C(9; –12; 15)
AB = { –3; 3; –3 }, AC = { 6; –6; 6 } = –2·AB.
Векторы пропорциональны → точки A, B, C лежат на одной прямой.
Следовательно треугольник вырожден (S = 0).
────────────────────────
5.16 A(4; 6; 5), B(6; 9; 4), C(7; 5; 9)
AB = {2; 3; –1}, AC = {3; –1; 4}
Площадь треугольника:
AB × AC = | i j k ; 2 3 –1 ; 3 –1 4 |
= { 3·4 – (–1)(–1) ; –[ 2·4 – (–1)·3 ] ; 2(–1) – 3·3 }
= { 12–1 ; –(8+3) ; –2–9 }
= { 11; –11; –11 }
|AB × AC| = √(3·121) = 11√3
SΔ = ½|AB × AC| = (11√3)/2
Периметр:
|AB| = √14, |BC| = √42, |CA| = √26
P = √14 + √42 + √26 ≈ 15.32
────────────────────────
6.16 A(1; 8; 2), B(5; 2; 6), C(5; 7; 4), D(4; 10; 9)
Иском, например, объём тетраэдра ABCD.
AB = {4; –6; 4}, AC = {4; –1; 2}, AD = {3; 2; 7}
AB × AC = | i j k ; 4 –6 4 ; 4 –1 2 |
= { (–6)·2 – 4(–1) ; –[ 4·2 – 4(–1) ] ; 4(–1) – (–6)·4 }
= { –12+4 ; –(8+4) ; –4+24 }
= { –8; 8; 20 }
Смешанное произведение (AB × AC)·AD = (–8)·3 + 8·2 + 20·7
= –24 + 16 + 140 = 132
V_{ABCD} = |132| / 6 = 22
────────────────────────
Краткие ответы
1.16 с₁ = {23; 32; –11}, с₂ = {13; 7; 14}
2.16 a·b = 12, |a| = √21, |b| = √17, cos φ = 12/√357, a × b = {8; 7; –10}
3.16 [a b c] = 148
4.16 A, B, C – коллинеарны, S = 0
5.16 S_Δ = 11√3 / 2, P = √14 + √42 + √26
6.16 V_{ABCD} = 22