Задача 80476 Установить вид и построить линии,...
Условие
Решение
С этим все просто - группируем отдельно x и y:
(4x^2 - 8x) + (3y^2 + 12y) + 4 = 0
Выносим за скобки 4 и 3, добавляем до полных квадратов:
4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3(y^2 + 4y + 4 - 4) + 4 = 0
4(x - 1)^2 - 4 + 3(y + 2)^2 - 12 + 4 = 0
Приводим подобные и переносим числа направо:
4(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 = 12
Делим на 12, чтобы справа осталось 1:
[m]\large \frac{(x - 1)^2}{3} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1[/m]
Каноническое уравнение:
[m]\large \frac{(x - x0)^2}{a^2} + \frac{(y - y0)^2}{b^2} = 1[/m]
Это уравнение эллипса.
Центр эллипса A(1; -2), полуоси a = sqrt(3); b = 2
Эллипс представлен на рисунке 1.
б) 5x^2 + 5y^2 + 2xy - 14sqrt(2)x + 2sqrt(2)y + 10 = 0
С этим намного сложнее, из-за члена 2xy.
От него надо избавиться, для этого надо повернуть оси.
Применяем такое преобразование:
{ x = x'*cos a - y'*sin a
{ y = x'*sin a + y'*cos a
Здесь x, y - старые координаты,
x', y' - новые повернутые координаты,
а - угол поворота осей.
Подставляем эти выражения в наше уравнение кривой:
5(x'*cos a - y'*sin a)^2 + 5(x'*sin a + y'*cos a)^2 +
+ 2(x'*cos a - y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) -
- 14sqrt(2)(x'*cos a - y'*sin a) + 2sqrt(2)(x'*sin a + y'*cos a) + 10 = 0
5(x'^2cos^2 a - 2x'y'*cos a*sin a + y'^2sin^2 a) +
+ 5(x'^2sin^2 a + 2x'y'*sin a*cos a + y'^2cos^2 a) +
+ 2(x'^2*cos a*sin a-x'y'*sin^2 a+x'y'*cos^2 a-y'^2*sin a*cos a) -
- 14sqrt(2)*x'*cos a+14sqrt(2)*y'*sin a+2sqrt(2)*x'*sin a+2sqrt(2)*y'*cos a + 10 = 0
5x'^2cos^2 a - 10x'y'*cos a*sin a + 5y'^2sin^2 a +
5x'^2sin^2 a + 10x'y'*sin a*cos a + 5y'^2cos^2 a +
+ 2x'^2*cos a*sin a-2x'y'*sin^2 a+2x'y'*cos^2 a-2y'^2*sin a*cos a -
- 14sqrt(2)*x'*cos a+14sqrt(2)*y'*sin a+2sqrt(2)*x'*sin a+2sqrt(2)*y'*cos a + 10 = 0
x'^2*(5cos^2 a + 2cos a*sin a + 5sin^2 a) + y'^2*(5sin^2 a - 2sin a*cos a + 5cos^2 a) +
+ 2x'y'*(cos^2 a - sin^2 a) -
- 14sqrt(2)*x'*cos a+14sqrt(2)*y'*sin a+2sqrt(2)*x'*sin a+2sqrt(2)*y'*cos a + 10 = 0
Теперь член, содержащий x'*y', нужно приравнять к 0.
cos^2 a - sin^2 a = 0
(cos a - sin a)(cos a + sin a) = 0
1) cos a = sin a
a = π/4, cos a = sin a = 1/sqrt(2)
2) cos a = -sin a
a = 3π/4, cos a = -1/sqrt(2), sin a = 1/sqrt(2)
Значит, углы поворота составляют π/4 и 3π/4.
Мы берем больший угол:
a = 3π/4, cos a = -1/sqrt(2), sin a = 1/sqrt(2)
Подставляем значения синусов и косинусов:
x'^2*(5*1/2 + 2*1/sqrt(2)(-1/sqrt(2)) + 5*1/2) + y'^2*(5*1/2 - 2*1/sqrt(2)(-1/sqrt(2)) + 5*1/2) +
+ 0 - 14sqrt(2)*x'(-1/sqrt(2)) + 14sqrt(2)*y'*1/sqrt(2) + 2sqrt(2)*x'*1/sqrt(2) + 2sqrt(2)*y'*(-1/sqrt(2)) + 10 = 0
x'^2*(5/2-2*1/2+5/2) + y'^2*(5/2+2*1/2+5/2) + 14x' + 14y' + 2x' - 2y' + 10 = 0
4x'^2 + 6y'^2 - 16x' + 12y' + 10 = 0
Сокращаем всё на 2:
2x'^2 + 3y'^2 - 8x' + 6y' + 5 = 0
Группируем отдельно x и y:
(2x'^2 - 8x') + (3y'^2 + 6y') + 5 = 0
Выносим за скобки 2 и 3, добавляем до полных квадратов:
2(x'^2 - 4x' + 4 - 4) + 3(y'^2 + 2y' + 1 - 1) + 5 = 0
2(x' - 2)^2 - 8 + 3(y' + 1)^2 - 3 + 5 = 0
Приводим подобные и переносим числа направо:
2(x' - 2)^2 + 3(y' + 1)^2 = 6
Делим на 6, чтобы справа осталось 1:
[m]\large \frac{(x' - 2)^2}{3} + \frac{(y' + 1)^2}{2} = 1[/m]
Это опять эллипс, центр А(2; -1), полуоси a = sqrt(3); b = sqrt(2)
Эллипс представлен на рисунке 2.
