Задача 80463 Провести полное исследование указанной...
Условие
y=x^(2)+1/x^(2)
Решение
y = x² + 1 / x² , x ≠ 0
1. Область определения
ODZ : x ∈ (−∞;0) ∪ (0; +∞).
2. Чётность
y(−x)= (−x)²+1/(−x)² = x²+1/x² = y(x) ⇒ функция чётная, график симметричен относительно оси Оy.
3. Пределы и поведение у границ области определения
а) x → 0± : x² → 0, 1/x² → +∞ ⇒ y → +∞.
б) |x| → ∞ : 1/x² → 0, y ≈ x² ⇒ y → +∞.
Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота; наклонных и горизонтальных асимптот нет.
4. Производные
y = x² + x⁻²
y′ = 2x − 2/x³
= 2 ( x − 1/x³ ).
Критические точки:
2 ( x − 1/x³ ) = 0 ⇒ x⁴ = 1 ⇒ x = ±1.
Таблица знаков y′ (достаточно рассмотреть x>0, далее учесть чётность):
Интервал (0;1) 1 (1;∞)
Знак y′ − 0 +
Следовательно
• (0;1) – убывание, • (1;∞) – возрастание.
С учётом чётности:
(−∞;−1) – убывание, (−1;0) – возрастание.
Значения в критических точках
y(±1)=1+1=2.
Это минимумы, потому что:
y″ = 2 + 6/x⁴ > 0 при всех x ≠ 0 ⇒ функция вогнута вверх (строго выпукла).
5. Экстремумы
Минимальные точки: (−1; 2) и (1; 2).
Глобальный минимум y_min = 2. Максимумов нет.
6. Выпуклость и точки перегиба
y″ > 0 для любого x ≠ 0 ⇒ функция выпукла на каждом из интервалов (−∞;0) и (0;∞).
y″ не обращается в нуль ⇒ точек перегиба нет.
7. Пересечения с осями
• OX: y ≥ 2 ⇒ корней нет.
• OY: x = 0 не входит в область определения ⇒ пересечения нет.
8. Множество значений
y ∈ [2, +∞).
9. Итоговое «поведение» ветвей
Левая ветвь x → −∞ : y → +∞, далее убывает до (−1;2), затем растёт до +∞ при x → 0−.
Правая ветвь x → 0+ : y → +∞, далее убывает до (1;2), затем растёт до +∞ при x → +∞.
Ветви симметричны относительно оси Оy.
10. Эскиз графика
(Изобразите координатную плоскость.)
– Провести вертикальную пунктирную прямую x = 0 (асимптота).
– Отметить точки минимума (−1;2) и (1;2).
– Нарисовать две выпуклые к оси ОX “лодочки”:
левая ветвь спускается от +∞ (при x → −∞) к (−1;2), затем поднимается к +∞, стремясь к вертикальной асимптоте x = 0;
правая ветвь симметрично: от +∞ у x→0+, вниз к (1;2), затем вверх к +∞.
Таким образом функция определена при x≠0, чётная, имеет два симметричных глобальных минимума y=2, всюду выпукла, точек перегиба и горизонтальных/наклонных асимптот нет, вертикальная асимптота x=0.