Задача 80433 Даны координаты вершин треугольника АВС....

68f317402723c2578435a957

10/18/2025 4:28:33 AM

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найдите: а) уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент; б)уравнение высоты СН и ее длину; в) уравнение медианы АМ и ее длину; г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; е) точку пересечения медиан А(1; 7), В(-3;-1), С(11;-3)

68501b46d00c766c9c688611

10/18/2025 4:36:21 AM

★

Даны вершины
A(1; 7), B(–3; –1), C(11; –3).

Обозначим Δx = x₂ – x₁ и Δy = y₂ – y₁.

а) Сторона АВ
Δx = –3 – 1 = –4, Δy = –1 – 7 = –8.
Угловой коэффициент k_AB = Δy/Δx = (–8)/(–4) = 2.
Уравнение (через A): y – 7 = 2(x – 1) ⇒ y = 2x + 5
(в общем виде 2x – y + 5 = 0).

б) Высота СН
Прямая AB имеет k = 2, поэтому перпендикуляр имеет k = –½.
Через C(11; –3): y + 3 = –½(x – 11).
Приведём к общему виду: x + 2y – 5 = 0. — это уравнение высоты.

Длина высоты: расстояние от точки C до прямой AB
ρ = |2·11 – (-3) + 5| / √(2² + (-1)²) = |22 + 3 + 5| / √5 = 30/√5 = 6√5.

в) Медиана АМ
Середина стороны BC:
M( (-3+11)/2 , (-1+-3)/2 ) = (4; –2).

Угловой коэффициент k_AM = (-2 – 7)/(4 – 1) = –9/3 = –3.
Уравнение (через A): y – 7 = –3(x – 1) ⇒ y = –3x + 10
(или 3x + y – 10 = 0).

Длина медианы:
|AM| = √[(4-1)² + (-2-7)²] = √(3² + (-9)²) = √90 = 3√10.

г) Точка N пересечения медианы АМ и высоты СН
Решаем систему
y = –3x + 10, x + 2y – 5 = 0 → y = (5 – x)/2.

–3x + 10 = (5 – x)/2 → –6x + 20 = 5 – x → 15 = 5x → x = 3,
y = (5 – 3)/2 = 1.
N(3; 1).

д) Прямая, проходящая через С и параллельная АВ
Нужен тот же угловой коэффициент k = 2.
Через C(11; –3): y + 3 = 2(x – 11) ⇒ y = 2x – 25
(в общем виде 2x – y – 25 = 0).

е) Точка пересечения всех медиан (центроид)
G( (1 + (-3) + 11)/3 , (7 + (-1) + (-3))/3 ) = (3; 1).

Итак

1. AB: y = 2x + 5, k = 2.
2. CH: x + 2y – 5 = 0, |CH| = 6√5.
3. AM: y = –3x + 10, |AM| = 3√10.
4. N = (3; 1).
5. С-параллель AB: y = 2x – 25.
6. Пересечение медиан (центроид) G = (3; 1).