Задача 80394 У Насти есть несколько красивых камушков...

68cc6e2445525b56e490c433

9/28/2025 9:37:32 PM

У Насти есть несколько красивых камушков (не обязательно равных по весу). Для каждого натурального n, не превышающего 5, Настя может распределить эти камушки на две группы так, что камушки в одной группе будут в n раз тяжелее, чем в другой. Какое наименьшее число красивых камушков может быть у Насти?

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/29/2025 7:29:23 PM

★

Иными словами, нужно найти m таких чисел (не обязательно натуральных, заметим!),
чтобы можно было составить уравнения:
Сумма m1 чисел = Сумма (m - m1) чисел
Сумма m2 чисел = 2*Сумма (m - m2) чисел
Сумма m3 чисел = 3*Сумма (m - m3) чисел
Сумма m4 чисел = 4*Сумма (m - m4) чисел
Сумма m5 чисел = 5*Сумма (m - m5) чисел
И нужно найти минимальное m, при котором возможны эти уравнения.
Эти уравнения означают следующее:
Общую массу камешков можно нацело разделить на 2
Общую массу камешков можно нацело разделить на 3
Общую массу камешков можно нацело разделить на 4
Общую массу камешков можно нацело разделить на 5
Общую массу камешков можно нацело разделить на 6

Очевидно, что общая сумма должна быть кратна 60, потому что это наименьшее число,
которое нацело делится на 2, 3, 4, 5 и 6.
Тогда получаются такие соотношения весов:
30 = 30
40 = 2*20
45 = 3*15
48 = 4*12
50 = 5*10
Значит, камушки можно сложить так, что суммы весов составят:
10 кг, 12 кг, 15 кг, 20 кг, 30 кг, 40 кг, 45 кг, 48 кг, 50 кг.
Очевидно, что должны быть камни весом 2 кг и 3 кг, потому что:
12 - 10 = 2, 50 - 48 = 2, 15 - 12 = 3, 48 - 45 = 3
Третий камень, очевидно, должен быть 7 кг.
3 + 7 = 10 кг
2 + 3 + 7 = 12 кг
Следующие камни должны быть такими:
8 кг:
7 + 8 = 15 кг
2 + 3 + 7 + 8 = 20 кг
10 кг:
2 + 3 + 7 + 8 + 10 = 30 кг
И последний камень:
30 кг:
10 + 30 = 40 кг
2 + 3 + 10 + 30 = 45 кг
3 + 7 + 8 + 30 = 48 кг
2 + 3 + 7 + 8 + 30 = 50 кг

Ответ: 6 камней: 2, 3, 7, 8, 10, 30 кг.