Задача 80380 Не пиша компьютерной программы и не...
Условие
Решение
Так как произведение цифр в 25 раз больше их суммы, то ясно, что в числе присутствуют две цифры 5, потому что 25 = 5*5.
Запишем число так: a55.
Попробуем найти цифру a.
Сумма цифр: a + 5 + 5 = a + 10
Произведение цифр: a*5*5 = 25a.
По условию произведение в 25 раз больше суммы:
25*(a + 10) = 25a
Сокращаем на 25:
a + 10 = a
Очевидно, корней нет.
Значит, таких трехзначных чисел не бывает.
То есть число как минимум 4-значное.
Запишем его так: ab55
Сумма: a + b + 5 + 5 = 10 + a + b
Произведение: a*b*5*5 = 25ab
Условие:
25(10 + a + b) = 25ab
10 + a + b = ab
10 + a = ab - b
10 + a = b(a - 1)
[m]b = \frac{10 + a}{a - 1}[/m]
При a = 2 получаем:
[m]b = \frac{10+2}{2-1} = \frac{12}{1} = 12[/m] - не подходит.
При a = 3 получаем:
[m]b = \frac{10+3}{3-1} = \frac{13}{2}[/m] - не целое, не подходит
...
При a = 9 получаем:
[m]b = \frac{10+9}{9-1} = \frac{19}{8}[/m] - не целое, не подходит
В общем, ни одно а от 2 до 9 не подходит.
При а = 2 получается b = 12, а должна быть одна цифра.
При а от 3 до 9 получается b - не целое число.
Переходим к пятизначным числам.
Запишем его так: abc55
Сумма: a + b + c + 5 + 5 = 10 + a + b + c
Произведение: a*b*c*5*5 = 25abc
Условие:
25(10 + a + b + c) = 25abc
10 + a + b + c = abc
10 + a + b = abc - c
10 + a + b = c(ab - 1)
[m]c = \frac{10+a+b}{ab-1}[/m]
При ab = 2, то есть при a = 1, b = 2, получаем:
[m]c = \frac{10+1+2}{2-1} = \frac{13}{1} = 13[/m] - не подходит
При ab = 3, то есть при a = 1, b = 3, получаем:
[m]c = \frac{10+1+3}{3-1} = \frac{14}{2} = 7[/m] - подходит!!!
Значит, наше число состоит из цифр 1, 3, 7, 5, 5, и нам надо составить наименьшее число из этих цифр.
[b]Ответ: 13557[/b]
Проверка.
Сумма цифр: 1 + 3 + 5 + 5 + 7 = 21
Произведение цифр: 1*3*5*5*7 = 525 = 21*25
Все верно.