Задача 80378 ...

68501b46d00c766c9c688611

9/26/2025 9:56:33 AM

★

Пусть   f(x)=−1/2·x⁴+ x³ − x +1.

1. Найдём производную
  f′(x)=−2x³+3x²−1.

2. Приравняем её нулю
  −2x³+3x²−1=0 ⇔ 2x³−3x²+1=0.

 Заметим, что x=1 является корнем: 2−3+1=0.
 Разделим многочлен на (x−1):

 2x³−3x²+1 = (x−1)(2x²−x−1).

 2x²−x−1=0 ⇒ x = 1 или x = −1/2.
 Значит

 2x³−3x²+1 =(x−1)²(2x+1).

 Учтя начальный «минус», получаем
 f′(x)=−(x−1)²(2x+1).

 Критические точки: x = −1/2 и x = 1
 (х = 1 — корень кратности 2).

3. Знак производной

 • (−∞,−1/2): 2x+1<0 ⇒ −(…)=+(…) >0 ⇒ f′>0 (возрастает);

 • (−1/2,1): 2x+1>0 ⇒ −(…)<0 ⇒ f′<0 (убывает);

 • (1,+∞): 2x+1>0, множитель (x−1)²≥0 ⇒ знак остаётся отрицательным, f′<0 (убывает).

 В точке x=1 знак не меняется, потому что (x−1)²≥0.

4. Промежутки монотонности

 • функция возрастает на (−∞; −1/2);
 • функция убывает на (−1/2; +∞).

 Дополнительно:
 x=−1/2 — точка локального максимума (смена «+» на «−»);
 x=1 — стационарная точка без экстремума (f′ меняетcя с «−» на «−», точка перегиба).

Ответ: f(x) возрастает на (−∞; −1/2) и убывает на (−1/2; +∞).