Задача 80373 Не пиша компьютерной программы и не...

68cc6e2445525b56e490c433

9/20/2025 11:18:34 PM

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, докажите, что никакое восьмизначное число с попарно различными десятичными цифрами не делится на произведение всех своих цифр.

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/21/2025 4:19:07 PM

★

Во-первых, обратим внимание на то, что все цифры должны быть разные, и их должно быть 8.
Причем 0 в числе быть не может, потому что тогда произведение цифр будет равно 0, а на 0 делить нельзя.
Значит, число должно состоять из 8 разных цифр, взятых из набора от 1 до 9.
Иначе говоря, это будут все цифры, кроме одной.
Вопрос, какую же цифру исключить?
Заметим, что среди этих 9 цифр есть 4 четных: 2, 4, 6, 8.
Если в числе присутствует цифра 5, то произведение будет делиться на 10, то есть кончаться на 0.
А мы уже знаем, что 0 в числе нет.
Значит, этот вариант нам не подходит, и 5 нужно исключить.
Остается 8 цифр: 1,2,3,4,6,7,8,9.
Среди них есть цифры 3,6 и 9, поэтому произведение будет делиться на 3.
Но сумма этих цифр:
1+2+3+4+6+7+8+9 = 40, на 3 не делится.
Значит, любое число из этих цифр на 3 делиться не будет, а отличие от произведения цифр.
Таким образом, мы доказали, что и этот вариант нам не подходит.
А поскольку других вариантов нет, то мы доказали, что число из 8 любых разных цифр не может нацело делиться на произведение своих цифр.