Задача 80366 вычислить значение выражения...
Условие
математика
68
Решение
★
Тогда sin α = x и cos α = √(1-x²) (-1 ≤ x ≤ 1).
Нужно найти sin 7α.
Самый быстрый способ – воспользоваться формулой синуса кратного угла
sin 7α = 7 sin α − 56 sin³ α + 112 sin⁵ α − 64 sin⁷ α.
(Её получают либо многократным применением формул сложения, либо
раскрывая (cos α+i sin α)⁷ по биному Ньютона и беря мнимую часть.)
Подставляем sin α = x:
sin(7 arcsin x) = 7x − 56x³ + 112x⁵ − 64x⁷, x ∈ [-1; 1].
Проверка на отдельных значениях:
x = 0 ⇒ выражение = 0;
x = 1/2 ⇒ 7·½ − 56·(½)³ + 112·(½)⁵ − 64·(½)⁷ = −½ = sin(7·π/6);
x = 1 ⇒ 7 − 56 + 112 − 64 = −1 = sin(7·π/2).
Все совпадает.