Задача 80365 Доказать...
Условие
pi/2+arccos36/85=arccos15/17+arccos (-3/5)
Решение
α = arccos (36/85), β = arccos (15/17), γ = arccos (−3/5).
Требуется доказать
π/2 + α = β + γ. (1)
1. Найдём синусы углов.
cos α = 36/85 ⇒ sin α = √(1−(36/85)²)=√(5929/7225)=77/85.
cos β = 15/17 ⇒ sin β = √(1−(15/17)²)=√(64/289)= 8/17.
cos γ = −3/5 ⇒ sin γ = √(1−(−3/5)²)=√(16/25)= 4/5
(угол γ лежит в (π/2,π), поэтому sin γ > 0).
2. Вычислим sin(β+γ) и cos(β+γ).
cos(β+γ) = cos β cos γ − sin β sin γ
= (15/17)(−3/5) − (8/17)(4/5)
= −45/85 − 32/85 = −77/85.
sin(β+γ) = sin β cos γ + cos β sin γ
= (8/17)(−3/5) + (15/17)(4/5)
= −24/85 + 60/85 = 36/85.
Итак
cos(β+γ)= −77/85, sin(β+γ)= 36/85. (2)
3. Сравним вектор (cos, sin) углов α и (β+γ).
Для α: (cos α, sin α)= (36/85, 77/85).
Для β+γ из (2): (cos(β+γ), sin(β+γ)) = (−77/85, 36/85).
Видно, что
(cos(β+γ), sin(β+γ)) = (−sin α, cos α),
то есть поворот вектора (cos α, sin α) на +π/2 (90°) даёт вектор (cos(β+γ), sin(β+γ)).
Следовательно
β + γ = α + π/2 (с точностью до 2π). (3)
4. Уточним знак.
Численно: α≈1.13 рад, β+γ≈2.70 рад; разность ≈1.57 рад∈(0,π).
Значит выполняется именно π/2, а не 3π/2.
Из (3) получаем требуемое равенство (1):
π/2 + α = β + γ = arccos (15/17) + arccos (−3/5).
Тождество доказано.