Задача 80357 Задача. Провести полное исследование...
Условие
[m] y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x}} [/m].
Решение
Полное исследование.
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
x^2 + x > 0
x(x + 1) > 0
x ∈ (-oo; -1) U (0; +oo)
Знаменатель не должен равняться 0.
[m]\sqrt{x^2+x} ≠ 0[/m]
x^2 + x ≠ 0
x(x + 1) ≠ 0
x ≠ 0, x ≠ -1
Это точки разрыва.
x = -1 - это точка неустранимого разрыва 2 рода (уход в бесконечность)
При x = 0 будет неопределенность: [m]y = \frac{0}{0}[/m]
Значит, это точка устранимого разрыва.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
x = -1 - это вертикальная асимптота.
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Пересечение с осью Oy: x = 0 - точка разрыва.
Пересечение с осью Ox: y = 0 - не выполнено ни при каком x.
Пересечения с осями нет.
Интервалы знакопостоянства:
При x < -1 будет y(x) < 0
При x > 0 будет y(x) > 0
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]y(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2-x}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2-x}}[/m]
Не четная и не нечетная. Функция общего вида.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
Не периодическая.
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
[m]y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2+x} - x \cdot (2x+1)/(2\sqrt{x^2+x})}{x^2+x} = \frac{2(x^2+x) - x(2x + 1)}{2\sqrt{x^2+x} (x^2+x)} =[/m]
[m]= \frac{2x^2+2x - 2x^2 -x}{2(x^2+x)^{3/2}} = \frac{x}{2(x^2+x)^{3/2}}[/m]
В точках экстремума должно быть y'(x) = 0
[m]\frac{x}{2(x^2+x)^{3/2}} = 0[/m]
x = 0, но это точка разрыва.
Экстремумов нет.
Интервалы монотонности:
При x < -1 будет y' < 0, функция убывает.
При x > 0 будет y' > 0, функция возрастает.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
[m]y'' = \frac{1 \cdot 2(x^2+x)^{3/2} - x \cdot 3(2x+1)(x^2+x)^{1/2} }{4(x^2+x)^3} = \frac{2(x^2+x) - x \cdot 3(2x+1)}{4(x^2+x)^{5/2}}=[/m]
[m]= \frac{2x^2+2x - 6x^2-3x}{4(x^2+x)^{5/2}} = \frac{-4x^2-x}{4(x^2+x)^{5/2}}[/m]
В точках перегиба должно быть y'' = 0
-4x^2 - x = 0
-x(4x + 1) = 0
x1 = 0 - в этой точке функция не определена.
x2 = -1/4 - в этой точке функция не определена.
Точек перегиба нет.
Промежутки выпуклости и вогнутости:
При x < -1 будет y'' < 0, функция выпуклая (выпуклая вверх).
При x > 0 будет y'' < 0, функция выпуклая (выпуклая вверх).
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты имеют вид: f(x) = kx + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to +-\infty} \frac{y(x)}{x}[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to +-\infty} (y(x) - kx)[/m]
На минус бесконечности:
[m]k = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} = \frac{1}{+\infty} = 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}} = -1[/m]
На минус бесконечности: f(x) = -1 : горизонтальная асимптота
На плюс бесконечности:
[m]k = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} = \frac{1}{+\infty} = 0[/m]
[m]b = \lim \limits_{x \to +\infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}} = 1[/m]
На плюс бесконечности: f(x) = 1 : горизонтальная асимптота
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
[m]y(1) = \frac{1}{\sqrt{1^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]y(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2+2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}[/m]
[m]y(-2) = \frac{-2}{\sqrt{(-2)^2-2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}[/m]
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на рисунке. Асимптоты показаны тонкими линиями.