Задача 80348 Вычислить : чем равно?...
Условие
Решение
[m] \sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}}[/m]
Обозначим [m]a = \sqrt[3]{7 + \sqrt{50}};\ b= \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}}[/m]. Тогда:
[m]x = \sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 - \sqrt{50}} = a + b[/m]
Найдем выражение (a + b)^3:
[m](a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)[/m]
[m]x^3 = 7 + \sqrt{50} + 7 - \sqrt{50} + [/m]
[m] + 3(7 + \sqrt{50})(7 - \sqrt{50}) \cdot x[/m]
[m]x^3 = 14 + 3(49 - 50) \cdot x[/m]
[m]x^3 = 14 - 3x[/m]
x^3 + 3x - 14 = 0
Перепишем так:
x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + 7x - 14 = 0
(x - 2)*x^2 + (x - 2)*x + (x - 2)*7 = 0
(x - 2)(x^2 + x + 7) = 0
x1 = 2
x^2 + x + 7 = 0
Это уравнение действительных корней не имеет.
Ответ: [m](7 + \sqrt{50})^{1/3} + (7 - \sqrt{50})^{1/3} = 2[/m]