Задача 80347 ...
Условие
{ 16x^2 + (4 - 5a) (x^3 + x) - (5/4) a(x^2 + 1)^2 ≤ 0
{ 4x/(x^2 + 1) = (1 - y)/5y + (ay)/(1-y) + a/4
{ 0 < y < 1
не имеет решений.
Источник: alexlarin.net, вариант 494
Решение
{ [m]\frac{4x}{x^2 + 1} = \frac{1-y}{5y} + \frac{ay}{1 - y} + \frac{a}{4}[/m]
{ [m]0 < y < 1[/m]
1 неравенство можно разделить на (x^2 + 1)^2:
{ [m]\frac{16x^2}{(x^2+1)^2} + (4-5a) \cdot \frac{x(x^2 + 1)}{(x^2+1)^2} - \frac{5a}{4} ≤ 0[/m]
{ [m]\frac{4x}{x^2 + 1} = \frac{1-y}{5y} + \frac{ay}{1 - y} + \frac{a}{4}[/m]
{ [m]0 < y < 1[/m]
В 1 неравенстве во 2 дроби (x^2 + 1) можно сократить.
{ [m]\frac{16x^2}{(x^2+1)^2} + (4-5a) \cdot \frac{x}{(x^2+1)} - \frac{5a}{4} ≤ 0[/m]
{ [m]\frac{4x}{x^2 + 1} = \frac{1-y}{5y} + \frac{ay}{1 - y} + \frac{a}{4}[/m]
{ [m]0 < y < 1[/m]
Делаем замену: [m]\frac{x}{x^2 + 1} = v;\ \ \frac{1-y}{y} = w[/m]
{ [m]16v^2 + (4 - 5a)v - \frac{5a}{4} ≤ 0[/m]
{ [m]4v = \frac{w}{5} + \frac{a}{w} + \frac{a}{4}[/m]
{ [m]0 < y < 1[/m]
Заметим, что если 0 < y < 1, то 1/y > 1, тогда:
[m]w = \frac{1-y}{y} = \frac{1}{y} - \frac{y}{y}) = \frac{1}{y} - 1[/m]
Так как 1/y > 1, то 1/y - 1 > 0, значит, w > 0
Кроме того, 1 неравенство и 2 уравнение можно привести к целым.
Неравенство умножаем на 4, а уравнение на 20w:
{ 64v^2 + (16 - 20a)v - 5a ≤ 0
{ 80v*w = 4w^2 + 5aw + 20a
{ w > 0
Решаем 1 неравенство:
D/4 =(8-10a)^2 - 64(-5a) = 64-160a+100a^2+320a=
= 64 + 160a + 100a^2 = (8 + 10a)^2
Очевидно, что D/4 ≥ 0 при любом a.
Значит, неравенство всегда имеет решения:
[m]v1 = \frac{8 - 10a - (8 + 10a)}{64} = -\frac{20a}{64} = -\frac{5a}{16}[/m]
[m]v2 = \frac{8 - 10a + (8 + 10a)}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}[/m]
Здесь возможны три случая:
1) Если 8 + 10a = 0, то есть a = -0,8, то D/4 = 0
v1 = v2 = 1/4
2) Если a ≠ -0,8, то D/4 > 0, тогда рассмотрим два оставшихся случая:
2a) v1 < v2
-5a/16 < 1/4
-5a < 4
a > -0,8
Решение 1 неравенства:
[m]v ∈ (-\frac{5a}{16};\ \frac{1}{4})[/m]
2b) v1 > v2
Рассуждая точно также, получаем:
a < -0,8
Решение 1 неравенства:
[m]v ∈ (\frac{1}{4};\ -\frac{5a}{16})[/m]
Решаем 2 неравенство для 1) случая:
a = -0,8, v = 1/4; w > 0
80*1/4*w = 4w^2 + 5(-0,8)w + 20(-0,8)
Получаем:
4w^2 + (-4 - 20)*w - 16 = 0
4w^2 - 24w - 16 = 0
w^2 - 6w - 4 = 0
D/4 = (-3)^2 - 1(-4) = 9 + 4 = 13
w1 = 3 - sqrt(13) < 0; w2 = 3 + sqrt(13) > 0
Как видим, решение системы в этом случае существует, значит, нам это не подходит.
Решаем 2 неравенство для 2a) случая:
a > -0,8; [m]v ∈ (-\frac{5a}{16};\ \frac{1}{4})[/m]; w > 0
80v*w = 4w^2 + 5aw + 20a
4w^2 + (5a - 80v)*w + 20a = 0
D = (5a - 80v)^2 - 4*4*20a =
= 25a^2 - 800av + 1600v^2 - 320a
Надо решить, при каких а и v будет D < 0.
Тогда решений не будет.
25a^2 - 800av + 1600v^2 - 320a < 0
Это вы сами, у меня уже сил нет.
Для случая 2b) решается такое же уравнение:
80v*w = 4w^2 + 5aw + 20a
Но при условии:
a < -0,8; [m]v ∈ (-\frac{5a}{16};\ \frac{1}{4})[/m]; w > 0