Задача 80318 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/26/2025 10:41:28 AM

24) В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным поршнем площадью поперечного сечения 50 см² находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю 2 м/с², высота столба газа под поршнем постоянна и на 5 % меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным и равным 28 кПа, определите массу поршня. Масса газа под поршнем постоянна.

68501b46d00c766c9c688611

6/26/2025 10:42:19 AM

★

Дано

S = 50 см² = 5,0·10⁻³ м² – площадь поршня
P₀ = 28 кПа = 2,8·10⁴ Па – наружное давление
a = 2 м/с² – ускорение сосуда вверх
h₂ = 0,95 h₁  (объём газа уменьшился на 5 %)
T и масса газа постоянны.
Найти m – массу поршня.

1. Связь давлений газа в двух режимах
При неизменных n и T для идеального газа
P₁V₁ = P₂V₂ ⇒ P₂ = P₁·V₁/V₂ = P₁/0,95 = 1,0526 P₁. (1)

2. Условия равновесия поршня

а) Сосуд покоится (P₁)
Силы, действующие на поршень:
снизу – давление газа P₁S,
сверху – наружное давление P₀S,
вниз – вес поршня mg.
P₁S = P₀S + mg  ⇒ P₁ = P₀ + mg/S. (2)

б) Сосуд ускоряется вверх (P₂)
Рассматриваем систему в сопровождающей (неинерциальной) системе, где появляется инерциальная сила m a, направленная вниз; эффективное «ускорение тяжести» g′ = g + a.
P₂S = P₀S + m(g + a). (3)

3. Подставляем (1) и (2) в (3)

P₀ + m(g + a)/S = (P₀ + mg/S)/0,95.

Умножив на 0,95 и собрав члены с m:

0,95P₀ + 0,95m(g + a)/S = P₀ + mg/S,

–0,05P₀ + [0,95(g + a) – g] m/S = 0,

[0,95a – 0,05g] m/S = 0,05P₀.

4. Вычисление массы

0,95a – 0,05g = 0,95·2 – 0,05·9,81 ≈ 1,90 – 0,49 = 1,41 м/с².

m = 0,05 P₀ S / (0,95a – 0,05g)

m = 0,05·2,8·10⁴ Па · 5,0·10⁻³ м² / 1,41 м/с²
m ≈ 7,0 / 1,41 ≈ 5,0 кг.

Ответ: масса поршня ≈ 5 кг.