Задача 80249 ...

66758a5f4a6eb928f58e676d

6/25/2025 3:51:20 PM

26) Небольшое тело массой M = 0,99 кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом R = 1 м. В тело попадает пуля массой m = 0,01 кг, летящая горизонтально со скоростью v₀ = 200 м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела в момент удара, определите высоту h, на которой это тело остановится от поверхности полусферы. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

68501b46d00c766c9c688611

6/25/2025 3:53:33 PM

★

Дано
M = 0,99 кг , m = 0,01 кг , v₀ = 200 м/с , R = 1 м , g ≈ 9,8 м/с².

I. Скорость тела-«комка» сразу после удара
Удар длится очень короткое время, поэтому внешние силы (тяжесть, реакция опоры) не успевают сообщить заметный горизонтальный импульс.
По горизонтали выполняется закон сохранения импульса

m v₀ = (M + m) v
v = m v₀ /(M + m) = 0,01·200/1,00 = 2,0 м/с.

II. Движение по гладкой сфере
Пусть θ – угол между радиус-вектором точки и вертикалью (θ = 0° – вершина).
После удара трение отсутствует, работу выполняет только тяжесть → механическая энергия сохраняется:

(1/2) (M+m) v² = (1/2)(M+m) v₁² + (M+m) g R(1 – cos θ) … (1)
где v₁ = 2 м/с – начальная скорость на вершине, v – скорость при угле θ.

Точка покидает поверхность, когда реакция N становится нулевой:
mg cos θ = (M+m) v² /R. … (2)

Из (2): v² = gR cos θ.
Подставляя в (1) и сокращая массу, получаем

gR cos θ = v₁² + 2 gR(1 – cos θ)
3 gR cos θ = v₁² + 2 gR
cos θ = [v₁² /(gR) + 2]/3.

Подстановка чисел:
v₁² /(gR) = 4/9,8 ≈ 0,408
cos θ = (0,408 + 2)/3 ≈ 0,803.

III. Высота от плоскости основания
Высота точки над основанием полусферы равна y = R cos θ:

h = R cos θ ≈ 1 м · 0,803 ≈ 0,80 м.

Ответ: тело потеряет контакт с поверхностью на высоте h ≈ 0,80 м над основанием полусферы.

Обоснование применённых законов
1. Сохранение импульса при ударе – воздействие опоры и тяжести за очень короткое время даёт нулевой горизонтальный импульс; потому горизонтальная составляющая импульса «пуля + тело» сохраняется.
2. Сохранение механической энергии после удара – трения нет (поверхность «гладкая»), пуля уже поглощена, внутренних потерь больше нет; работа совершает только поле тяжести, учтённое в записи энергии.
3. Условие N = 0 даёт момент отрыва, так как единственная сила, способная прижать тело к поверхности, – нормальная реакция.